1.5. 随机梯度下降#

随机梯度下降（Stochastic Gradient Descent，SGD）是一种简单而高效的方法，用于拟合在凸损失函数（如（线性）支持向量机和逻辑回归）下的线性分类器和回归器。尽管 SGD 在机器学习领域由来已久，但最近在大规模学习的背景下受到了相当多的关注。

SGD 已成功应用于大规模和稀疏机器学习问题，这些问题通常出现在文本分类和自然语言处理中。鉴于数据的稀疏性，此模块中的分类器可以轻松扩展到具有超过 \(10^5\) 个训练样本和超过 \(10^5\) 个特征的问题。

严格来说，SGD 仅仅是一种优化技术，并不对应于特定的机器学习模型家族。它只是一种训练模型的方式。通常，SGDClassifier 或 SGDRegressor 的实例在 scikit-learn API 中会有一个等效的估计器，可能使用不同的优化技术。例如，使用 SGDClassifier(loss='log_loss') 会得到逻辑回归，即一个等效于 LogisticRegression 的模型，它通过 SGD 而不是 LogisticRegression 中的其他求解器之一进行拟合。同样，SGDRegressor(loss='squared_error', penalty='l2') 和 Ridge 通过不同的方式解决相同的优化问题。

随机梯度下降的优点是：

  • 效率高。

  • 易于实现（有许多代码调优的机会）。

随机梯度下降的缺点包括：

  • SGD 需要许多超参数，例如正则化参数和迭代次数。

  • SGD 对特征缩放很敏感。

警告

确保在拟合模型之前对训练数据进行排列（洗牌），或者使用 shuffle=True 在每次迭代后进行洗牌（默认使用）。此外，理想情况下，特征应该使用例如 make_pipeline(StandardScaler(), SGDClassifier()) 进行标准化（参见 管道）。

1.5.1. 分类#

类 SGDClassifier 实现了一个普通的随机梯度下降学习例程，支持不同的损失函数和用于分类的惩罚项。下面是使用合页损失训练的 SGDClassifier 的决策边界，等同于线性 SVM。

../_images/sphx_glr_plot_sgd_separating_hyperplane_001.png

与其他分类器一样，SGD 必须用两个数组进行拟合：形状为 (n_samples, n_features) 的数组 X，包含训练样本；形状为 (n_samples,) 的数组 y，包含训练样本的目标值（类别标签）。

>>> from sklearn.linear_model import SGDClassifier
>>> X = [[0., 0.], [1., 1.]]
>>> y = [0, 1]
>>> clf = SGDClassifier(loss="hinge", penalty="l2", max_iter=5)
>>> clf.fit(X, y)
SGDClassifier(max_iter=5)

拟合后，模型可用于预测新值

>>> clf.predict([[2., 2.]])
array([1])

SGD 拟合一个线性模型到训练数据。 coef_ 属性保存模型参数

>>> clf.coef_
array([[9.9, 9.9]])

intercept_ 属性保存截距（又称偏移量或偏差）

>>> clf.intercept_
array([-9.9])

模型是否应使用截距（即有偏超平面）由参数 fit_intercept 控制。

到超平面的有符号距离（计算为系数和输入样本的点积加上截距）由 SGDClassifier.decision_function 给出

>>> clf.decision_function([[2., 2.]])
array([29.6])

具体的损失函数可以通过 loss 参数设置。SGDClassifier 支持以下损失函数

  • loss="hinge": (软间隔) 线性支持向量机，

  • loss="modified_huber": 平滑合页损失，

  • loss="log_loss": 逻辑回归，

  • 以及下面的所有回归损失。在这种情况下，目标被编码为 \(-1\) 或 \(1\)，问题被视为回归问题。然后，预测类别对应于预测目标的符号。

有关公式，请参阅下面的数学部分。前两个损失函数是惰性的，它们仅在示例违反间隔约束时更新模型参数，这使得训练非常高效，并且可能导致更稀疏的模型（即具有更多零系数），即使使用 \(L_2\) 惩罚。

使用 loss="log_loss" 或 loss="modified_huber" 可以启用 predict_proba 方法，该方法为每个样本 \(x\) 提供概率估计向量 \(P(y|x)\)

>>> clf = SGDClassifier(loss="log_loss", max_iter=5).fit(X, y)
>>> clf.predict_proba([[1., 1.]])
array([[0.00, 0.99]])

具体的惩罚项可以通过 penalty 参数设置。SGD 支持以下惩罚项

  • penalty="l2": 对 coef_ 的 \(L_2\) 范数惩罚。

  • penalty="l1": 对 coef_ 的 \(L_1\) 范数惩罚。

  • penalty="elasticnet": \(L_2\) 和 \(L_1\) 的凸组合；(1 - l1_ratio) * L2 + l1_ratio * L1。

默认设置是 penalty="l2"。 \(L_1\) 惩罚导致稀疏解，使大多数系数变为零。弹性网络 [11] 解决了 \(L_1\) 惩罚在存在高度相关属性时的一些缺陷。参数 l1_ratio 控制 \(L_1\) 和 \(L_2\) 惩罚的凸组合。

SGDClassifier 通过在“一对多”（OVA）方案中组合多个二元分类器来支持多类别分类。对于 \(K\) 个类别中的每一个，都会学习一个二元分类器，用于区分该类别与所有其他 \(K-1\) 个类别。在测试时，我们计算每个分类器的置信度分数（即到超平面的有符号距离），并选择置信度最高的类别。下图说明了在 iris 数据集上的 OVA 方法。虚线表示三个 OVA 分类器；背景颜色显示由三个分类器引起的决策曲面。

../_images/sphx_glr_plot_sgd_iris_001.png

在多类别分类的情况下，coef_ 是一个形状为 (n_classes, n_features) 的二维数组，intercept_ 是一个形状为 (n_classes,) 的一维数组。coef_ 的第 \(i\) 行保存第 \(i\) 个类别的 OVA 分类器的权重向量；类别按升序索引（参见属性 classes_）。请注意，原则上，由于它们允许创建概率模型，loss="log_loss" 和 loss="modified_huber" 更适合一对多分类。

SGDClassifier 通过拟合参数 class_weight 和 sample_weight 支持加权类别和加权实例。有关更多信息，请参阅下面的示例和 SGDClassifier.fit 的文档字符串。

SGDClassifier 支持平均 SGD (ASGD) [10]。通过设置 average=True 可以启用平均。ASGD 执行与常规 SGD 相同的更新（参见数学公式），但不是使用系数的最后值作为 coef_ 属性（即最后一次更新的值），而是将 coef_ 设置为所有更新中系数的平均值。 intercept_ 属性也同样处理。当使用 ASGD 时，学习率可以更大甚至恒定，这在某些数据集上可以加快训练时间。

对于具有逻辑损失的分类，另一种具有平均策略的 SGD 变体是随机平均梯度 (SAG) 算法，它作为 LogisticRegression 中的求解器可用。

示例

1.5.2. 回归#

类 SGDRegressor 实现了一个普通的随机梯度下降学习例程，支持不同的损失函数和惩罚项来拟合线性回归模型。SGDRegressor 非常适合具有大量训练样本（> 10,000）的回归问题，对于其他问题，我们推荐 Ridge、Lasso 或 ElasticNet。

具体的损失函数可以通过 loss 参数设置。SGDRegressor 支持以下损失函数

  • loss="squared_error": 普通最小二乘，

  • loss="huber": 用于鲁棒回归的 Huber 损失，

  • loss="epsilon_insensitive": 线性支持向量回归。

有关公式，请参阅下面的数学部分。Huber 和 epsilon-insensitive 损失函数可用于鲁棒回归。不敏感区域的宽度必须通过参数 epsilon 指定。此参数取决于目标变量的尺度。

penalty 参数确定要使用的正则化（参见上面分类部分的描述）。

SGDRegressor 也支持平均 SGD [10]（同样，参见上面分类部分的描述）。

对于具有平方损失和 \(L_2\) 惩罚的回归，另一种具有平均策略的 SGD 变体是随机平均梯度 (SAG) 算法，它作为 Ridge 中的求解器可用。

示例

1.5.3. 在线单类别 SVM#

类 sklearn.linear_model.SGDOneClassSVM 实现了使用随机梯度下降的在线线性版本的单类别 SVM。结合核近似技术，sklearn.linear_model.SGDOneClassSVM 可用于近似 sklearn.svm.OneClassSVM 中实现的核化单类别 SVM 的解，其复杂度在样本数量上是线性的。请注意，核化单类别 SVM 的复杂度在样本数量上最好是二次的。sklearn.linear_model.SGDOneClassSVM 因此非常适合具有大量训练样本（超过 10,000）的数据集，对于这些数据集，SGD 变体可以快几个数量级。

数学细节#

其实现基于随机梯度下降的实现。实际上，单类别 SVM 的原始优化问题由下式给出

\[\begin{split}\begin{aligned} \min_{w, \rho, \xi} & \quad \frac{1}{2}\Vert w \Vert^2 - \rho + \frac{1}{\nu n} \sum_{i=1}^n \xi_i \\ \text{s.t.} & \quad \langle w, x_i \rangle \geq \rho - \xi_i \quad 1 \leq i \leq n \\ & \quad \xi_i \geq 0 \quad 1 \leq i \leq n \end{aligned}\end{split}\]

其中 \(\nu \in (0, 1]\) 是用户指定的参数，控制离群值的比例和支持向量的比例。去掉松弛变量 \(\xi_i\)，这个问题等价于

\[\min_{w, \rho} \frac{1}{2}\Vert w \Vert^2 - \rho + \frac{1}{\nu n} \sum_{i=1}^n \max(0, \rho - \langle w, x_i \rangle) \, .\]

乘以常数 \(\nu\) 并引入截距 \(b = 1 - \rho\)，我们得到以下等效优化问题

\[\min_{w, b} \frac{\nu}{2}\Vert w \Vert^2 + b\nu + \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \max(0, 1 - (\langle w, x_i \rangle + b)) \, .\]

这类似于第 数学公式 节中研究的优化问题，其中 \(y_i = 1, 1 \leq i \leq n\) 且 \(\alpha = \nu/2\)，\(L\) 是合页损失函数，\(R\) 是 \(L_2\) 范数。我们只需要在优化循环中添加项 \(b\nu\)。

与 SGDClassifier 和 SGDRegressor 一样，SGDOneClassSVM 支持平均 SGD。通过设置 average=True 可以启用平均。

示例

1.5.4. 稀疏数据的随机梯度下降#

注意

由于截距的学习率缩小，稀疏实现产生的R结果与密集实现略有不同。参见实现细节。

对 scipy.sparse 支持的任何矩阵格式的稀疏数据都有内置支持。然而，为了获得最高效率，请使用 scipy.sparse.csr_matrix 中定义的 CSR 矩阵格式。

示例

1.5.5. 复杂度#

SGD 的主要优点是其效率，它基本上与训练样本的数量呈线性关系。如果 \(X\) 是一个大小为 \(n \times p\) 的矩阵（有 \(n\) 个样本和 \(p\) 个特征），则训练成本为 \(O(k n \bar p)\)，其中 \(k\) 是迭代次数（周期），\(\bar p\) 是每个样本的非零属性的平均数量。

然而，最近的理论结果表明，达到所需的优化精度的运行时间不会随着训练集大小的增加而增加。

1.5.6. 停止准则#

类 SGDClassifier 和 SGDRegressor 提供了两个停止算法的准则，当达到给定的收敛水平时

  • 使用 early_stopping=True 时，输入数据被分成训练集和验证集。然后模型在训练集上拟合，停止准则基于在验证集上计算的预测分数（使用 score 方法）。验证集的大小可以通过参数 validation_fraction 更改。

  • 使用 early_stopping=False 时，模型在整个输入数据上拟合，停止准则基于在训练数据上计算的目标函数。

在这两种情况下，准则在每个周期评估一次，当准则连续 n_iter_no_change 次没有改进时，算法停止。改进是使用绝对容差 tol 进行评估的，并且算法在最大迭代次数 max_iter 后无论如何都会停止。

有关提前停止效果的示例，请参阅 随机梯度下降的提前停止。

1.5.7. 实用技巧#

  • 随机梯度下降对特征缩放很敏感，因此强烈建议缩放数据。例如，将输入向量 \(X\) 中的每个属性缩放到 \([0,1]\) 或 \([-1,1]\)，或者将其标准化为均值 \(0\) 和方差 \(1\)。请注意，必须对测试向量应用相同的缩放才能获得有意义的结果。这可以使用 StandardScaler 轻松完成

    from sklearn.preprocessing import StandardScaler
scaler = StandardScaler()
scaler.fit(X_train)  # Don't cheat - fit only on training data
X_train = scaler.transform(X_train)
X_test = scaler.transform(X_test)  # apply same transformation to test data

# Or better yet: use a pipeline!
from sklearn.pipeline import make_pipeline
est = make_pipeline(StandardScaler(), SGDClassifier())
est.fit(X_train)
est.predict(X_test)

    如果您的属性具有内在尺度（例如词频或指示特征），则不需要缩放。

  • 寻找合理的正则化项 \(\alpha\) 最好通过自动超参数搜索完成，例如 GridSearchCV 或 RandomizedSearchCV，通常在 10.0**-np.arange(1,7) 范围内。

  • 根据经验，我们发现 SGD 在观察大约 \(10^6\) 个训练样本后会收敛。因此，迭代次数的一个合理初步猜测是 max_iter = np.ceil(10**6 / n)，其中 n 是训练集的大小。

  • 如果您将 SGD 应用于使用 PCA 提取的特征，我们发现明智的做法是通常将特征值乘以某个常数 c，使得训练数据的平均 \(L_2\) 范数等于 1。

  • 我们发现平均 SGD 在具有大量特征和较高 eta0 时效果最好。

References

1.5.8. 数学公式#

我们在此描述 SGD 过程的数学细节。有关收敛率的良好概述，请参阅 [12]。

给定一组训练样本 \(\{(x_1, y_1), \ldots, (x_n, y_n)\}\)，其中 \(x_i \in \mathbf{R}^m\) 和 \(y_i \in \mathbf{R}\)（分类时 \(y_i \in \{-1, 1\}\)），我们的目标是学习一个线性评分函数 \(f(x) = w^T x + b\)，其中模型参数 \(w \in \mathbf{R}^m\) 和截距 \(b \in \mathbf{R}\)。为了进行二元分类预测，我们只需查看 \(f(x)\) 的符号。为了找到模型参数，我们最小化由下式给出的正则化训练误差

\[E(w,b) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} L(y_i, f(x_i)) + \alpha R(w)\]

其中 \(L\) 是衡量模型（误）拟合的损失函数，\(R\) 是惩罚模型复杂度的正则化项（又称惩罚项）；\(\alpha > 0\) 是控制正则化强度的非负超参数。

损失函数详情#

对 \(L\) 的不同选择会产生不同的分类器或回归器

  • 合页损失（软间隔）：等同于支持向量分类。\(L(y_i, f(x_i)) = \max(0, 1 - y_i f(x_i))\)。

  • 感知机：\(L(y_i, f(x_i)) = \max(0, - y_i f(x_i))\)。

  • Modified Huber：如果 \(y_i f(x_i) > -1\)，则 \(L(y_i, f(x_i)) = \max(0, 1 - y_i f(x_i))^2\)；否则 \(L(y_i, f(x_i)) = -4 y_i f(x_i)\)。

  • Log Loss：等同于逻辑回归。\(L(y_i, f(x_i)) = \log(1 + \exp (-y_i f(x_i)))\)。

  • 平方误差：线性回归（取决于 \(R\) 的 Ridge 或 Lasso）。\(L(y_i, f(x_i)) = \frac{1}{2}(y_i - f(x_i))^2\)。

  • Huber：对离群值不如最小二乘敏感。当 \(|y_i - f(x_i)| \leq \varepsilon\) 时，它等同于最小二乘，否则 \(L(y_i, f(x_i)) = \varepsilon |y_i - f(x_i)| - \frac{1}{2} \varepsilon^2\)。

  • Epsilon-Insensitive：（软间隔）等同于支持向量回归。\(L(y_i, f(x_i)) = \max(0, |y_i - f(x_i)| - \varepsilon)\)。

如上图所示，所有上述损失函数都可以被视为误分类误差（零一损失）的上限。

../_images/sphx_glr_plot_sgd_loss_functions_001.png

正则化项 \(R\)（penalty 参数）的流行选择包括

  • \(L_2\) 范数：\(R(w) := \frac{1}{2} \sum_{j=1}^{m} w_j^2 = ||w||_2^2\)，

  • \(L_1\) 范数：\(R(w) := \sum_{j=1}^{m} |w_j|\)，这会导致稀疏解。

  • 弹性网络：\(R(w) := \frac{\rho}{2} \sum_{j=1}^{n} w_j^2 + (1-\rho) \sum_{j=1}^{m} |w_j|\)，是 \(L_2\) 和 \(L_1\) 的凸组合，其中 \(\rho\) 由 1 - l1_ratio 给出。

下图显示了在二维参数空间（\(m=2\)）中当 \(R(w) = 1\) 时不同正则化项的等高线。

../_images/sphx_glr_plot_sgd_penalties_001.png

1.5.8.1. SGD#

随机梯度下降是一种用于无约束优化问题的优化方法。与（批量）梯度下降相反，SGD 通过一次考虑一个训练样本来近似 \(E(w,b)\) 的真实梯度。

类 SGDClassifier 实现了一阶 SGD 学习例程。该算法迭代训练样本，并根据给定的更新规则为每个样本更新模型参数

\[w \leftarrow w - \eta \left[\alpha \frac{\partial R(w)}{\partial w} + \frac{\partial L(w^T x_i + b, y_i)}{\partial w}\right]\]

其中 \(\eta\) 是学习率，控制参数空间中的步长。截距 \(b\) 以类似方式更新，但没有正则化（对于稀疏矩阵有额外的衰减，如实现细节中所述）。

学习率 \(\eta\) 可以是常数或逐渐衰减。对于分类，默认的学习率调度（learning_rate='optimal'）由下式给出

\[\eta^{(t)} = \frac {1}{\alpha (t_0 + t)}\]

其中 \(t\) 是时间步长（总共有 n_samples * n_iter 个时间步长），\(t_0\) 是根据 Léon Bottou 提出的启发式方法确定的，使得预期的初始更新与权重的预期大小相当（这假设训练样本的范数近似为 1）。确切的定义可以在 BaseSGD 中的 _init_t 中找到。

对于回归，默认的学习率调度是逆尺度（learning_rate='invscaling'），由下式给出

\[\eta^{(t)} = \frac{\eta_0}{t^{power\_t}}\]

其中 \(\eta_0\) 和 \(power\_t\) 是用户通过 eta0 和 power_t 选择的超参数。

对于恒定学习率，使用 learning_rate='constant' 并使用 eta0 指定学习率。

对于自适应衰减学习率，使用 learning_rate='adaptive' 并使用 eta0 指定起始学习率。当达到停止准则时，学习率除以 5，算法不会停止。当学习率低于 1e-6 时，算法停止。

模型参数可以通过 coef_ 和 intercept_ 属性访问：coef_ 保存权重 \(w\)，intercept_ 保存 \(b\)。

当使用平均 SGD 时（带有 average 参数），coef_ 设置为所有更新的平均权重：coef_ \(= \frac{1}{T} \sum_{t=0}^{T-1} w^{(t)}\)，其中 \(T\) 是总更新次数，可以在 t_ 属性中找到。

1.5.9. 实现细节#

SGD 的实现受到 [7] 的 Stochastic Gradient SVM 的影响。与 SvmSGD 类似，权重向量表示为标量和向量的乘积，这使得在 \(L_2\) 正则化的情况下可以进行高效的权重更新。在稀疏输入 X 的情况下，截距使用较小的学习率（乘以 0.01）进行更新，以解决它更新更频繁的事实。训练样本按顺序选取，学习率在每个观察到的样本后降低。我们采用了 [8] 中的学习率调度。对于多类别分类，使用“一对多”方法。我们使用 [9] 中提出的截断梯度算法进行 \(L_1\) 正则化（和弹性网络）。代码是用 Cython 编写的。

References