2.8. 密度估计

密度估计介于无监督学习、特征工程和数据建模之间。一些最流行和有用的密度估计技术包括混合模型，如高斯混合模型（GaussianMixture），以及基于邻居的方法，如核密度估计（KernelDensity）。高斯混合模型在聚类的上下文中进行了更充分的讨论，因为该技术作为一种无监督聚类方案也很有用。

密度估计是一个非常简单的概念，大多数人已经熟悉一种常见的密度估计技术：直方图。

2.8.1. 密度估计：直方图

直方图是一种简单的数据可视化方法，其中定义了数据“桶”，并统计每个桶内的数据点数量。以下图的左上角面板展示了一个直方图示例。

然而，直方图的一个主要问题是，分桶的选择可能对最终的可视化产生不成比例的影响。考虑上图的右上角面板。它显示了相同数据的直方图，但数据桶向右平移。两个可视化的结果看起来完全不同，可能导致对数据的不同解释。

直观地，我们也可以将直方图想象成一堆方块，每个数据点一个方块。通过在适当的网格空间中堆叠方块，我们得到了直方图。但是，如果不是在规则网格上堆叠方块，而是将每个方块中心放置在其所代表的数据点上，并求和每个位置的总高度呢？这个想法就产生了左下角的可是化结果。它可能不如直方图那么整洁，但数据驱动方块位置的事实意味着它能更好地表示底层数据。

这种可视化是核密度估计的一个例子，本例中使用了平顶核（即在每个点上放置一个方形方块）。通过使用更平滑的核，我们可以得到一个更平滑的分布。右下角的图显示了高斯核密度估计，其中每个点都为总和贡献了一条高斯曲线。结果是一个平滑的密度估计，它从数据中得出，并作为点分布的强大非参数模型。

2.8.2. 核密度估计

scikit-learn 中的核密度估计在 KernelDensity 估计器中实现，该估计器使用 Ball Tree 或 KD Tree 进行高效查询（有关这些的讨论，请参阅最近邻）。尽管上述示例为简单起见使用了1D数据集，但核密度估计可以在任意维度上进行，尽管在实践中，维度灾难会导致其在高维度下的性能下降。

在下图中，从双峰分布中抽取了100个点，并显示了三种不同核选择下的核密度估计

很明显，核的形状如何影响所得分布的平滑度。scikit-learn 核密度估计器可以按如下方式使用

>>> from sklearn.neighbors import KernelDensity
>>> import numpy as np
>>> X = np.array([[-1, -1], [-2, -1], [-3, -2], [1, 1], [2, 1], [3, 2]])
>>> kde = KernelDensity(kernel='gaussian', bandwidth=0.2).fit(X)
>>> kde.score_samples(X)
array([-0.41075698, -0.41075698, -0.41076071, -0.41075698, -0.41075698,
       -0.41076071])

这里我们使用了 kernel='gaussian'，如上所示。在数学上，核是一个正函数 \(K(x;h)\)，由带宽参数 \(h\) 控制。给定这种核形式，点集 \(x_i; i=1\cdots N\) 中点 \(y\) 处的密度估计由下式给出

\[\rho_K(y) = \sum_{i=1}^{N} K(y - x_i; h)\]

这里的带宽充当平滑参数，控制结果中偏差和方差之间的权衡。大带宽导致非常平滑（即高偏差）的密度分布。小带宽导致不平滑（即高方差）的密度分布。

参数 bandwidth 控制这种平滑。可以手动设置此参数，也可以使用 Scott 和 Silverman 的估计方法。

KernelDensity 实现了几种常见的核形式，如下图所示

核的数学表达式

这些核的形式如下：

• 高斯核（kernel = 'gaussian'）

  \(K(x; h) \propto \exp(- \frac{x^2}{2h^2} )\)

• 平顶核（kernel = 'tophat'）

  \(K(x; h) \propto 1\) 若 \(x < h\)

• Epanechnikov 核（kernel = 'epanechnikov'）

  \(K(x; h) \propto 1 - \frac{x^2}{h^2}\)

• 指数核（kernel = 'exponential'）

  \(K(x; h) \propto \exp(-x/h)\)

• 线性核（kernel = 'linear'）

  \(K(x; h) \propto 1 - x/h\) 若 \(x < h\)

• 余弦核（kernel = 'cosine'）

  \(K(x; h) \propto \cos(\frac{\pi x}{2h})\) 若 \(x < h\)

核密度估计器可以与任何有效的距离度量一起使用（有关可用度量列表，请参阅DistanceMetric），尽管结果仅在欧几里得度量下才进行正确归一化。一个特别有用的度量是半正矢距离，它测量球体上点之间的角距离。以下是使用核密度估计可视化地理空间数据的示例，本例中为南美洲大陆上两种不同物种的观测分布

核密度估计的另一个有用应用是学习数据集的非参数生成模型，以便有效地从该生成模型中抽取新样本。以下是使用此过程创建一组新手写数字的示例，其中使用了基于数据PCA投影学习的高斯核

“新”数据由输入数据的线性组合组成，其权重根据 KDE 模型进行概率性抽取。

示例

• 简单一维核密度估计：一维简单核密度估计的计算。

• 核密度估计：使用核密度估计学习手写数字数据的生成模型，并从该模型中抽取新样本的示例。

• 物种分布的核密度估计：使用半正矢距离度量可视化地理空间数据的核密度估计示例。