1.17. 神经网络模型（监督学习）#

警告

此实现不适用于大规模应用。特别是，scikit-learn 不提供 GPU 支持。对于更快、基于 GPU 的实现，以及提供更大灵活性来构建深度学习框架的架构，请参阅相关项目。

1.17.1. 多层感知器#

多层感知器 (MLP) 是一种监督学习算法，通过在数据集上训练来学习函数 \(f: R^m \rightarrow R^o\)，其中 \(m\) 是输入的维度数，\(o\) 是输出的维度数。给定一组特征 \(X = {x_1, x_2, ..., x_m}\) 和一个目标 \(y\)，它可以学习一个非线性函数近似器，用于分类或回归。它与逻辑回归不同，因为它在输入层和输出层之间可以有一个或多个非线性层，称为隐藏层。图 1 显示了一个具有标量输出的单隐藏层 MLP。

../_images/multilayerperceptron_network.png — **图 1：单隐藏层 MLP。**#

最左边的层称为输入层，由一组表示输入特征的神经元 \(\{x_i | x_1, x_2, ..., x_m\}\) 组成。隐藏层中的每个神经元都通过加权线性求和 \(w_1x_1 + w_2x_2 + ... + w_mx_m\) 来转换前一层的值，然后是双曲正切函数等非线性激活函数 \(g(\cdot):R \rightarrow R\)。输出层接收来自最后一个隐藏层的值并将其转换为输出值。

该模块包含公共属性 coefs_ 和 intercepts_。coefs_ 是权重矩阵列表，其中索引 \(i\) 处的权重矩阵表示层 \(i\) 和层 \(i+1\) 之间的权重。intercepts_ 是偏置向量列表，其中索引 \(i\) 处的向量表示添加到层 \(i+1\) 的偏置值。

1.17.2. 分类#

类 MLPClassifier 实现了使用反向传播进行训练的多层感知器 (MLP) 算法。

MLP 在两个数组上训练：大小为 (n_samples, n_features) 的数组 X，其中包含表示为浮点特征向量的训练样本；以及大小为 (n_samples,) 的数组 y，其中包含训练样本的目标值（类别标签）

>>> from sklearn.neural_network import MLPClassifier
>>> X = [[0., 0.], [1., 1.]]
>>> y = [0, 1]
>>> clf = MLPClassifier(solver='lbfgs', alpha=1e-5,
...                     hidden_layer_sizes=(5, 2), random_state=1)
...
>>> clf.fit(X, y)
MLPClassifier(alpha=1e-05, hidden_layer_sizes=(5, 2), random_state=1,
              solver='lbfgs')

拟合（训练）后，模型可以预测新样本的标签

>>> clf.predict([[2., 2.], [-1., -2.]])
array([1, 0])

MLP 可以将非线性模型拟合到训练数据。clf.coefs_ 包含构成模型参数的权重矩阵

>>> [coef.shape for coef in clf.coefs_]
[(2, 5), (5, 2), (2, 1)]

目前，MLPClassifier 仅支持交叉熵损失函数，该函数允许通过运行 predict_proba 方法获得概率估计。

MLP 使用反向传播进行训练。更确切地说，它使用某种形式的梯度下降进行训练，梯度通过反向传播计算。对于分类，它最小化交叉熵损失函数，为每个样本 \(x\) 提供一个概率估计向量 \(P(y|x)\)

>>> clf.predict_proba([[2., 2.], [1., 2.]])
array([[1.967e-04, 9.998e-01],
       [1.967e-04, 9.998e-01]])

MLPClassifier 通过应用 Softmax 作为输出函数来支持多分类。

此外，该模型支持多标签分类，其中一个样本可以属于多个类别。对于每个类别，原始输出通过逻辑函数。大于或等于 0.5 的值四舍五入为 1，否则四舍五入为 0。对于样本的预测输出，值为 1 的索引表示该样本的分配类别

>>> X = [[0., 0.], [1., 1.]]
>>> y = [[0, 1], [1, 1]]
>>> clf = MLPClassifier(solver='lbfgs', alpha=1e-5,
...                     hidden_layer_sizes=(15,), random_state=1)
...
>>> clf.fit(X, y)
MLPClassifier(alpha=1e-05, hidden_layer_sizes=(15,), random_state=1,
              solver='lbfgs')
>>> clf.predict([[1., 2.]])
array([[1, 1]])
>>> clf.predict([[0., 0.]])
array([[0, 1]])

有关更多信息，请参阅以下示例和 MLPClassifier.fit 的文档字符串。

示例

比较 MLPClassifier 的随机学习策略
有关训练权重的可视化表示，请参阅 MNIST 上 MLP 权重的可视化。

1.17.3. 回归#

类 MLPRegressor 实现了使用反向传播训练的多层感知器 (MLP)，其输出层没有激活函数，也可以看作是使用恒等函数作为激活函数。因此，它使用平方误差作为损失函数，输出是一组连续值。

MLPRegressor 也支持多输出回归，其中一个样本可以有多个目标。

1.17.4. 正则化#

MLPRegressor 和 MLPClassifier 都使用参数 alpha 进行正则化（L2 正则化）项，这通过惩罚大权重的模型来帮助避免过拟合。下图显示了不同 alpha 值下的决策函数变化。

../_images/sphx_glr_plot_mlp_alpha_001.png

有关更多信息，请参阅以下示例。

示例

多层感知器中的正则化变化

1.17.5. 算法#

MLP 使用随机梯度下降、Adam 或 L-BFGS 进行训练。随机梯度下降 (SGD) 使用损失函数相对于需要调整的参数的梯度来更新参数，即

\[w \leftarrow w - \eta (\alpha \frac{\partial R(w)}{\partial w} + \frac{\partial Loss}{\partial w})\]

其中 \(\eta\) 是学习率，控制参数空间搜索中的步长。\(Loss\) 是网络使用的损失函数。

更多细节可以在 SGD 的文档中找到

Adam 与 SGD 类似，它也是一种随机优化器，但它可以根据低阶矩的自适应估计自动调整参数更新量。

使用 SGD 或 Adam，训练支持在线学习和 mini-batch 学习。

L-BFGS 是一种近似 Hessian 矩阵的求解器，Hessian 矩阵表示函数的二阶偏导数。此外，它近似 Hessian 矩阵的逆矩阵以执行参数更新。该实现使用了 Scipy 版本的 L-BFGS。

如果选择的求解器是 ‘L-BFGS’，则训练不支持在线学习或 mini-batch 学习。

1.17.6. 复杂度#

假设有 \(n\) 个训练样本，\(m\) 个特征，\(k\) 个隐藏层（为简化起见，每个包含 \(h\) 个神经元），以及 \(o\) 个输出神经元。反向传播的时间复杂度为 \(O(i \cdot n \cdot (m \cdot h + (k - 1) \cdot h \cdot h + h \cdot o))\)，其中 \(i\) 是迭代次数。由于反向传播的时间复杂度较高，建议在训练时从较少数量的隐藏神经元和较少的隐藏层开始。

数学公式#

给定一组训练样本 \((x_1, y_1), (x_2, y_2), \ldots, (x_n, y_n)\)，其中 \(x_i \in \mathbf{R}^n\) 且 \(y_i \in \{0, 1\}\)，一个单隐藏层单隐藏神经元的 MLP 学习函数 \(f(x) = W_2 g(W_1^T x + b_1) + b_2\)，其中 \(W_1 \in \mathbf{R}^m\) 且 \(W_2, b_1, b_2 \in \mathbf{R}\) 是模型参数。\(W_1, W_2\) 分别表示输入层和隐藏层的权重；\(b_1, b_2\) 分别表示添加到隐藏层和输出层的偏置。\(g(\cdot) : R \rightarrow R\) 是激活函数，默认设置为双曲正切函数。它的公式为：

\[g(z)= \frac{e^z-e^{-z}}{e^z+e^{-z}}\]

对于二分类，\(f(x)\) 通过逻辑函数 \(g(z)=1/(1+e^{-z})\) 得到介于零和一之间的输出值。一个阈值（设置为 0.5）将大于或等于 0.5 的输出样本分配给正类别，其余分配给负类别。

如果有两个以上的类别，\(f(x)\) 本身将是一个大小为 (n_classes,) 的向量。它不是通过逻辑函数，而是通过 softmax 函数，其公式为：

\[\text{softmax}(z)_i = \frac{\exp(z_i)}{\sum_{l=1}^k\exp(z_l)}\]

其中 \(z_i\) 表示 softmax 输入的第 \(i\) 个元素，对应于类别 \(i\)，\(K\) 是类别的数量。结果是一个向量，包含样本 \(x\) 属于每个类别的概率。输出是概率最高的类别。

在回归中，输出仍为 \(f(x)\)；因此，输出激活函数只是恒等函数。

MLP 根据问题类型使用不同的损失函数。分类的损失函数是平均交叉熵，在二分类情况下公式为：

\[Loss(\hat{y},y,W) = -\dfrac{1}{n}\sum_{i=0}^n(y_i \ln {\hat{y_i}} + (1-y_i) \ln{(1-\hat{y_i})}) + \dfrac{\alpha}{2n} ||W||_2^2\]

其中 \(\alpha ||W||_2^2\) 是 L2 正则化项（也称为惩罚），用于惩罚复杂模型；\(\alpha > 0\) 是一个非负超参数，控制惩罚的大小。

对于回归，MLP 使用均方误差损失函数；公式为：

\[Loss(\hat{y},y,W) = \frac{1}{2n}\sum_{i=0}^n||\hat{y}_i - y_i ||_2^2 + \frac{\alpha}{2n} ||W||_2^2\]

从初始随机权重开始，多层感知器 (MLP) 通过重复更新这些权重来最小化损失函数。计算损失后，反向传播将其从输出层传播到前一层，为每个权重参数提供一个旨在减小损失的更新值。

在梯度下降中，计算损失函数相对于权重的梯度 \(\nabla Loss_{W}\) 并从 \(W\) 中减去。更正式地表示为：

\[W^{i+1} = W^i - \epsilon \nabla {Loss}_{W}^{i}\]

其中 \(i\) 是迭代步长，\(\epsilon\) 是一个大于 0 的学习率。

当达到预设的最大迭代次数，或损失的改进低于某个很小的数值时，算法停止。

1.17.7. 实际使用技巧#

多层感知器对特征缩放敏感，因此强烈建议对数据进行缩放。例如，将输入向量 X 中的每个属性缩放为 [0, 1] 或 [-1, +1]，或将其标准化为均值为 0，方差为 1。请注意，为了获得有意义的结果，必须对测试集应用相同的缩放。您可以使用 StandardScaler 进行标准化。
```
>>> from sklearn.preprocessing import StandardScaler  
>>> scaler = StandardScaler()  
>>> # Don't cheat - fit only on training data
>>> scaler.fit(X_train)  
>>> X_train = scaler.transform(X_train)  
>>> # apply same transformation to test data
>>> X_test = scaler.transform(X_test)  
```
另一种推荐的方法是在 Pipeline 中使用 StandardScaler
寻找合理的正则化参数 \(\alpha\) 最好使用 GridSearchCV 完成，通常在 10.0 ** -np.arange(1, 7) 范围内。
根据经验，我们观察到 L-BFGS 在小型数据集上收敛更快，并且能得到更好的解。然而，对于相对较大的数据集，Adam 非常鲁棒。它通常收敛迅速并提供相当不错的性能。另一方面，如果学习率调整得当，带有动量或 Nesterov 动量的 SGD 可能会比这两种算法表现更好。

1.17.8. 通过 warm_start 进行更多控制#

如果您想对 SGD 中的停止标准或学习率进行更多控制，或者想进行额外的监控，使用 warm_start=True 和 max_iter=1 并自行迭代可能会有所帮助

>>> X = [[0., 0.], [1., 1.]]
>>> y = [0, 1]
>>> clf = MLPClassifier(hidden_layer_sizes=(15,), random_state=1, max_iter=1, warm_start=True)
>>> for i in range(10):
...     clf.fit(X, y)
...     # additional monitoring / inspection
MLPClassifier(...