2.9. 神经网络模型（无监督）#

2.9.1. 受限玻尔兹曼机#

受限玻尔兹曼机（RBM）是一种基于概率模型的无监督非线性特征学习器。RBM 或多层 RBM 提取的特征在输入到线性分类器（如线性 SVM 或感知机）时通常能得到很好的结果。

该模型对输入的分布做了假设。目前，scikit-learn 只提供了 BernoulliRBM，它假设输入是二进制值或介于 0 和 1 之间的值，每个值都编码了特定特征被激活的概率。

RBM 试图使用特定的图模型来最大化数据的似然性。所使用的参数学习算法（随机最大似然）防止表示形式偏离输入数据太远，这使得它们能够捕获有趣的规律性，但使得该模型对于小型数据集不太有用，并且通常不适用于密度估计。

该方法通过使用独立 RBM 的权重初始化深度神经网络而流行起来。这种方法被称为无监督预训练。

../_images/sphx_glr_plot_rbm_logistic_classification_001.png

示例

2.9.1.1. 图模型和参数化#

RBM 的图模型是一个完全连接的二分图。

../_images/rbm_graph.png

节点是随机变量，其状态取决于它们所连接的其他节点的状态。因此，模型通过连接权重以及每个可见和隐藏单元的一个截距（偏差）项进行参数化，为简化起见，图像中省略了这些项。

能量函数衡量联合赋值的质量

\[E(\mathbf{v}, \mathbf{h}) = -\sum_i \sum_j w_{ij}v_ih_j - \sum_i b_iv_i - \sum_j c_jh_j\]

在上面的公式中，\(\mathbf{b}\) 和 \(\mathbf{c}\) 分别是可见层和隐藏层的截距向量。模型的联合概率由能量定义

\[P(\mathbf{v}, \mathbf{h}) = \frac{e^{-E(\mathbf{v}, \mathbf{h})}}{Z}\]

受限一词指的是模型的二分结构，它禁止隐藏单元之间或可见单元之间进行直接交互。这意味着假设以下条件独立性

\[\begin{split}h_i \bot h_j | \mathbf{v} \\ v_i \bot v_j | \mathbf{h}\end{split}\]

二分结构允许使用高效的块 Gibbs 采样进行推理。

2.9.1.2. 伯努利受限玻尔兹曼机#

在 BernoulliRBM 中，所有单元都是伯努利随机单元。这意味着输入数据应为二进制或介于 0 和 1 之间的实数值，表示可见单元开启或关闭的概率。这对于字符识别是一个很好的模型，其中关注的是哪些像素处于活动状态，哪些没有。对于自然场景图像，它不再适用，因为背景、深度以及相邻像素趋向于采用相同值。

每个单元的条件概率分布由其接收的输入的逻辑 sigmoid 激活函数给出

\[\begin{split}P(v_i=1|\mathbf{h}) = \sigma(\sum_j w_{ij}h_j + b_i) \\ P(h_i=1|\mathbf{v}) = \sigma(\sum_i w_{ij}v_i + c_j)\end{split}\]

其中 \(\sigma\) 是逻辑 sigmoid 函数

\[\sigma(x) = \frac{1}{1 + e^{-x}}\]

2.9.1.3. 随机最大似然学习#

BernoulliRBM 中实现的训练算法称为随机最大似然（SML）或持久对比散度（PCD）。直接优化最大似然是不可行的，因为数据似然的形式为

\[\log P(v) = \log \sum_h e^{-E(v, h)} - \log \sum_{x, y} e^{-E(x, y)}\]

为简单起见，上面的等式是针对单个训练示例编写的。相对于权重的梯度由与上面相对应的两项组成。它们通常被称为正梯度和负梯度，因为它们的符号不同。在此实现中，梯度是根据小批量样本估计的。

在最大化对数似然时，正梯度使模型偏爱与观察到的训练数据兼容的隐藏状态。由于 RBM 的二分结构，它可以高效计算。然而，负梯度是难以处理的。它的目标是降低模型偏爱的联合状态的能量，从而使其忠实于数据。它可以通过使用块 Gibbs 采样的马尔可夫链蒙特卡洛进行近似，通过迭代地对 \(v\) 和 \(h\) 进行采样，给定另一个，直到链混合。以这种方式生成的样本有时被称为幻想粒子。这效率低下，并且难以确定马尔可夫链是否混合。

对比散度方法建议在少量迭代（\(k\)，通常甚至是 1）后停止链。这种方法速度快且方差低，但样本离模型分布很远。

持久对比散度解决了这个问题。PCD 不会每次需要梯度时都启动新链并仅执行一次 Gibbs 采样步骤，而是保留一些链（幻想粒子），这些链在每次权重更新后更新 \(k\) 个 Gibbs 步骤。这使得粒子能够更彻底地探索空间。

References