7.8. 成对指标、亲和度与核函数#

sklearn.metrics.pairwise 子模块实现了用于评估样本集之间的成对距离或亲和度的实用程序。

该模块包含距离指标和核函数。下面简要介绍一下两者。

距离指标是函数 d(a, b)，其中如果对象 a 和 b 被认为比对象 a 和 c “更相似”，则 d(a, b) < d(a, c)。两个完全相同的对象距离为零。最流行的例子之一是欧几里得距离。要成为一个“真正”的度量，它必须遵守以下四个条件

1. d(a, b) >= 0, for all a and b
2. d(a, b) == 0, if and only if a = b, positive definiteness
3. d(a, b) == d(b, a), symmetry
4. d(a, c) <= d(a, b) + d(b, c), the triangle inequality

核函数是相似性度量，即如果对象 a 和 b 被认为比对象 a 和 c “更相似”，则 s(a, b) > s(a, c)。核函数还必须是正半定矩阵。

有许多方法可以在距离指标和相似性度量（例如核函数）之间进行转换。设 D 为距离，S 为核函数

  1. S = np.exp(-D * gamma)，其中选择 gamma 的一个经验法则是

    1 / num_features

  2. S = 1. / (D / np.max(D))

可以使用 pairwise_distances 评估 X 的行向量与 Y 的行向量之间的距离。如果省略 Y，则计算 X 的行向量之间的成对距离。同样，可以使用 pairwise.pairwise_kernels 使用不同的核函数计算 X 和 Y 之间的核函数。有关更多详细信息，请参阅 API 参考。

>>> import numpy as np
>>> from sklearn.metrics import pairwise_distances
>>> from sklearn.metrics.pairwise import pairwise_kernels
>>> X = np.array([[2, 3], [3, 5], [5, 8]])
>>> Y = np.array([[1, 0], [2, 1]])
>>> pairwise_distances(X, Y, metric='manhattan')
array([[ 4.,  2.],
       [ 7.,  5.],
       [12., 10.]])
>>> pairwise_distances(X, metric='manhattan')
array([[0., 3., 8.],
       [3., 0., 5.],
       [8., 5., 0.]])
>>> pairwise_kernels(X, Y, metric='linear')
array([[ 2.,  7.],
       [ 3., 11.],
       [ 5., 18.]])

7.8.1. 余弦相似度#

cosine_similarity 计算向量的 L2 归一化点积。也就是说，如果 \(x\) 和 \(y\) 是行向量，它们的余弦相似度 \(k\) 定义为

\[k(x, y) = \frac{x y^\top}{\|x\| \|y\|}\]

这被称为余弦相似度，因为欧几里得 (L2) 归一化将向量投影到单位球体上，它们的点积就是向量所表示的点之间的角度的余弦。

这个核函数是计算表示为 tf-idf 向量的文档相似度的流行选择。cosine_similarity 接受 scipy.sparse 矩阵。（请注意，sklearn.feature_extraction.text 中的 tf-idf 功能可以生成归一化向量，在这种情况下，cosine_similarity 等效于 linear_kernel，只是速度较慢。）

References

7.8.2. 线性核函数#

函数 linear_kernel 计算线性核函数，即 polynomial_kernel 的特例，其中 degree=1 和 coef0=0（齐次）。如果 x 和 y 是列向量，它们的线性核函数为

\[k(x, y) = x^\top y\]

7.8.3. 多项式核函数#

函数 polynomial_kernel 计算两个向量之间的 d 次多项式核函数。多项式核函数表示两个向量之间的相似度。从概念上讲，多项式核函数不仅考虑同一维度上的向量之间的相似性，还考虑跨维度之间的相似性。在机器学习算法中使用时，这允许考虑特征交互。

多项式核函数定义为

\[k(x, y) = (\gamma x^\top y +c_0)^d\]

其中

  • x, y 是输入向量

  • d 是核函数的次数

如果 \(c_0 = 0\)，则该核函数称为齐次核函数。

7.8.4. Sigmoid 核函数#

函数 sigmoid_kernel 计算两个向量之间的 sigmoid 核函数。sigmoid 核函数也称为双曲正切或多层感知器（因为在神经网络领域，它通常用作神经元激活函数）。它定义为

\[k(x, y) = \tanh( \gamma x^\top y + c_0)\]

其中

  • x, y 是输入向量

  • \(\gamma\) 被称为斜率

  • \(c_0\) 被称为截距

7.8.5. RBF 核函数#

函数 rbf_kernel 计算两个向量之间的径向基函数 (RBF) 核函数。此核函数定义为

\[k(x, y) = \exp( -\gamma \| x-y \|^2)\]

其中 x 和 y 是输入向量。如果 \(\gamma = \sigma^{-2}\)，则该核函数称为方差为 \(\sigma^2\) 的高斯核函数。

7.8.6. 拉普拉斯核函数#

函数 laplacian_kernel 是径向基函数核函数的变体，定义为

\[k(x, y) = \exp( -\gamma \| x-y \|_1)\]

其中 x 和 y 是输入向量，\(\|x-y\|_1\) 是输入向量之间的曼哈顿距离。

它在应用于无噪声数据的机器学习中被证明是有用的。参见例如 Machine learning for quantum mechanics in a nutshell。

7.8.7. 卡方核函数#

卡方核函数是计算机视觉应用中用于训练非线性 SVM 的非常流行的选择。可以使用 chi2_kernel 计算它，然后将其传递给 kernel="precomputed" 的 SVC。

>>> from sklearn.svm import SVC
>>> from sklearn.metrics.pairwise import chi2_kernel
>>> X = [[0, 1], [1, 0], [.2, .8], [.7, .3]]
>>> y = [0, 1, 0, 1]
>>> K = chi2_kernel(X, gamma=.5)
>>> K
array([[1.        , 0.36787944, 0.89483932, 0.58364548],
       [0.36787944, 1.        , 0.51341712, 0.83822343],
       [0.89483932, 0.51341712, 1.        , 0.7768366 ],
       [0.58364548, 0.83822343, 0.7768366 , 1.        ]])

>>> svm = SVC(kernel='precomputed').fit(K, y)
>>> svm.predict(K)
array([0, 1, 0, 1])

它也可以直接用作 kernel 参数

>>> svm = SVC(kernel=chi2_kernel).fit(X, y)
>>> svm.predict(X)
array([0, 1, 0, 1])

卡方核函数由下式给出

\[k(x, y) = \exp \left (-\gamma \sum_i \frac{(x[i] - y[i]) ^ 2}{x[i] + y[i]} \right )\]

假设数据是非负的，并且通常归一化为 L1 范数为一。这种归一化是基于与卡方距离的联系，卡方距离是离散概率分布之间的距离。

卡方核函数最常用于视觉词袋直方图。

References