k-means 假设演示

此示例旨在说明 k-means 产生不直观且可能不受欢迎的聚类的情况。

# Authors: The scikit-learn developers
# SPDX-License-Identifier: BSD-3-Clause

数据生成

函数 make_blobs 生成各向同性（球形）高斯斑点。要获得各向异性（椭圆形）高斯斑点，必须定义一个线性 transformation。

import numpy as np

from sklearn.datasets import make_blobs

n_samples = 1500
random_state = 170
transformation = [[0.60834549, -0.63667341], [-0.40887718, 0.85253229]]

X, y = make_blobs(n_samples=n_samples, random_state=random_state)
X_aniso = np.dot(X, transformation)  # Anisotropic blobs
X_varied, y_varied = make_blobs(
    n_samples=n_samples, cluster_std=[1.0, 2.5, 0.5], random_state=random_state
)  # Unequal variance
X_filtered = np.vstack(
    (X[y == 0][:500], X[y == 1][:100], X[y == 2][:10])
)  # Unevenly sized blobs
y_filtered = [0] * 500 + [1] * 100 + [2] * 10

我们可以可视化生成的数据

import matplotlib.pyplot as plt

fig, axs = plt.subplots(nrows=2, ncols=2, figsize=(12, 12))

axs[0, 0].scatter(X[:, 0], X[:, 1], c=y)
axs[0, 0].set_title("Mixture of Gaussian Blobs")

axs[0, 1].scatter(X_aniso[:, 0], X_aniso[:, 1], c=y)
axs[0, 1].set_title("Anisotropically Distributed Blobs")

axs[1, 0].scatter(X_varied[:, 0], X_varied[:, 1], c=y_varied)
axs[1, 0].set_title("Unequal Variance")

axs[1, 1].scatter(X_filtered[:, 0], X_filtered[:, 1], c=y_filtered)
axs[1, 1].set_title("Unevenly Sized Blobs")

plt.suptitle("Ground truth clusters").set_y(0.95)
plt.show()

拟合模型并绘制结果

现在使用先前生成的数据来展示 KMeans 在以下情况下的行为

• 非最佳聚类数：在实际设置中，没有唯一确定的真实聚类数。必须根据基于数据的标准和预期目标知识来确定适当的聚类数。

• 各向异性分布的斑点：k-means 包括最小化样本到它们所属聚类质心的欧几里得距离。因此，k-means 更适用于各向同性且正态分布（即球形高斯）的聚类。

• 方差不相等：k-means 等效于对 k 个具有相同方差但可能具有不同均值的高斯分布“混合”进行最大似然估计。

• 大小不均的斑点：没有关于 k-means 的理论结果表明它需要相似的聚类大小才能表现良好，但最小化欧几里得距离确实意味着问题越稀疏和高维，就越需要使用不同的质心种子来运行算法以确保全局最小惯性。

from sklearn.cluster import KMeans

common_params = {
    "n_init": "auto",
    "random_state": random_state,
}

fig, axs = plt.subplots(nrows=2, ncols=2, figsize=(12, 12))

y_pred = KMeans(n_clusters=2, **common_params).fit_predict(X)
axs[0, 0].scatter(X[:, 0], X[:, 1], c=y_pred)
axs[0, 0].set_title("Non-optimal Number of Clusters")

y_pred = KMeans(n_clusters=3, **common_params).fit_predict(X_aniso)
axs[0, 1].scatter(X_aniso[:, 0], X_aniso[:, 1], c=y_pred)
axs[0, 1].set_title("Anisotropically Distributed Blobs")

y_pred = KMeans(n_clusters=3, **common_params).fit_predict(X_varied)
axs[1, 0].scatter(X_varied[:, 0], X_varied[:, 1], c=y_pred)
axs[1, 0].set_title("Unequal Variance")

y_pred = KMeans(n_clusters=3, **common_params).fit_predict(X_filtered)
axs[1, 1].scatter(X_filtered[:, 0], X_filtered[:, 1], c=y_pred)
axs[1, 1].set_title("Unevenly Sized Blobs")

plt.suptitle("Unexpected KMeans clusters").set_y(0.95)
plt.show()

可能的解决方案

有关如何找到正确斑点数的示例，请参阅 使用轮廓分析在 KMeans 聚类中选择聚类数。在这种情况下，只需设置 n_clusters=3。

y_pred = KMeans(n_clusters=3, **common_params).fit_predict(X)
plt.scatter(X[:, 0], X[:, 1], c=y_pred)
plt.title("Optimal Number of Clusters")
plt.show()

为了处理大小不均的斑点，可以增加随机初始化的次数。在这种情况下，我们设置 n_init=10 以避免找到次优的局部最小值。有关更多详细信息，请参阅 使用 k-means 对稀疏数据进行聚类。

y_pred = KMeans(n_clusters=3, n_init=10, random_state=random_state).fit_predict(
    X_filtered
)
plt.scatter(X_filtered[:, 0], X_filtered[:, 1], c=y_pred)
plt.title("Unevenly Sized Blobs \nwith several initializations")
plt.show()

由于各向异性和方差不相等是 k-means 算法的真正局限性，我们在此建议改用 GaussianMixture，它也假设高斯聚类，但不对其方差施加任何约束。请注意，仍然需要找到正确的斑点数（请参阅 高斯混合模型选择）。

有关其他聚类方法如何处理各向异性或方差不均的斑点的示例，请参阅示例 比较玩具数据集上的不同聚类算法。

from sklearn.mixture import GaussianMixture

fig, (ax1, ax2) = plt.subplots(nrows=1, ncols=2, figsize=(12, 6))

y_pred = GaussianMixture(n_components=3).fit_predict(X_aniso)
ax1.scatter(X_aniso[:, 0], X_aniso[:, 1], c=y_pred)
ax1.set_title("Anisotropically Distributed Blobs")

y_pred = GaussianMixture(n_components=3).fit_predict(X_varied)
ax2.scatter(X_varied[:, 0], X_varied[:, 1], c=y_pred)
ax2.set_title("Unequal Variance")

plt.suptitle("Gaussian mixture clusters").set_y(0.95)
plt.show()

最后说明

在高维空间中，欧几里得距离往往会膨胀（在此示例中未显示）。在 k-means 聚类之前运行降维算法可以减轻此问题并加快计算速度（请参阅示例 使用 k-means 对文本文档进行聚类）。

在已知聚类各向同性、具有相似方差且不太稀疏的情况下，k-means 算法非常有效，并且是可用的最快聚类算法之一。如果必须多次重新启动它以避免收敛到局部最小值，则此优势会丧失。

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