多项式和样条插值#

此示例演示如何使用岭回归，通过最多 degree 次的多项式来逼近函数。我们给出 n_samples 个一维点 x_i，展示两种不同的方法。

PolynomialFeatures 生成直到 degree 次的所有单项式。这给了我们所谓的范德蒙德矩阵，它有 n_samples 行和 degree + 1 列。
```
[[1, x_0, x_0 ** 2, x_0 ** 3, ..., x_0 ** degree],
 [1, x_1, x_1 ** 2, x_1 ** 3, ..., x_1 ** degree],
 ...]
```
直观地说，这个矩阵可以解释为伪特征矩阵（点提升到某个幂）。这个矩阵类似于（但不同于）由多项式核诱导的矩阵。
SplineTransformer 生成B样条基函数。B样条的基函数是 degree 次的分段多项式函数，它仅在 degree+1 个连续节点之间非零。给定 n_knots 个节点，这将产生一个 n_samples 行和 n_knots + degree - 1 列的矩阵。
```
[[basis_1(x_0), basis_2(x_0), ...],
 [basis_1(x_1), basis_2(x_1), ...],
 ...]
```

此示例表明，这两个转换器非常适合使用管道添加非线性特征来对线性模型中的非线性效应进行建模。核方法扩展了这个想法，并且可以诱导出非常高（甚至无限）维的特征空间。

# Authors: The scikit-learn developers
# SPDX-License-Identifier: BSD-3-Clause

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

from sklearn.linear_model import Ridge
from sklearn.pipeline import make_pipeline
from sklearn.preprocessing import PolynomialFeatures, SplineTransformer

我们首先定义一个我们打算逼近的函数，并准备绘制它。

def f(x):
    """Function to be approximated by polynomial interpolation."""
    return x * np.sin(x)


# whole range we want to plot
x_plot = np.linspace(-1, 11, 100)

为了使它更有趣，我们只提供一小部分点进行训练。

x_train = np.linspace(0, 10, 100)
rng = np.random.RandomState(0)
x_train = np.sort(rng.choice(x_train, size=20, replace=False))
y_train = f(x_train)

# create 2D-array versions of these arrays to feed to transformers
X_train = x_train[:, np.newaxis]
X_plot = x_plot[:, np.newaxis]

现在我们准备好创建多项式特征和样条，拟合训练点并显示它们的插值效果。

# plot function
lw = 2
fig, ax = plt.subplots()
ax.set_prop_cycle(
    color=["black", "teal", "yellowgreen", "gold", "darkorange", "tomato"]
)
ax.plot(x_plot, f(x_plot), linewidth=lw, label="ground truth")

# plot training points
ax.scatter(x_train, y_train, label="training points")

# polynomial features
for degree in [3, 4, 5]:
    model = make_pipeline(PolynomialFeatures(degree), Ridge(alpha=1e-3))
    model.fit(X_train, y_train)
    y_plot = model.predict(X_plot)
    ax.plot(x_plot, y_plot, label=f"degree {degree}")

# B-spline with 4 + 3 - 1 = 6 basis functions
model = make_pipeline(SplineTransformer(n_knots=4, degree=3), Ridge(alpha=1e-3))
model.fit(X_train, y_train)

y_plot = model.predict(X_plot)
ax.plot(x_plot, y_plot, label="B-spline")
ax.legend(loc="lower center")
ax.set_ylim(-20, 10)
plt.show()

这很好地表明，更高次的多项式可以更好地拟合数据。但同时，过高的幂可能会显示出不需要的振荡行为，并且对于拟合数据范围之外的外推尤其危险。这是B样条的一个优势。它们通常与多项式一样好地拟合数据，并显示出非常好的平滑行为。它们也有很好的选项来控制外推，默认为以常数继续。请注意，大多数情况下，您宁愿增加节点数量，但保持 degree=3。

为了更深入地了解生成的特征基，我们分别绘制了两个转换器的所有列。

fig, axes = plt.subplots(ncols=2, figsize=(16, 5))
pft = PolynomialFeatures(degree=3).fit(X_train)
axes[0].plot(x_plot, pft.transform(X_plot))
axes[0].legend(axes[0].lines, [f"degree {n}" for n in range(4)])
axes[0].set_title("PolynomialFeatures")

splt = SplineTransformer(n_knots=4, degree=3).fit(X_train)
axes[1].plot(x_plot, splt.transform(X_plot))
axes[1].legend(axes[1].lines, [f"spline {n}" for n in range(6)])
axes[1].set_title("SplineTransformer")

# plot knots of spline
knots = splt.bsplines_[0].t
axes[1].vlines(knots[3:-3], ymin=0, ymax=0.8, linestyles="dashed")
plt.show()

在左图中，我们识别出对应于从 x**0 到 x**3 的简单单项式的线。在右图中，我们看到 degree=3 的六个B样条基函数以及在 fit 期间选择的四个节点位置。请注意，在拟合区间左侧和右侧各有 degree 个附加节点。这些是出于技术原因，因此我们避免显示它们。每个基函数都具有局部支持，并在拟合范围之外以常数继续。这种外推行为可以通过参数 extrapolation 来改变。

周期性样条#

在前面的示例中，我们看到了多项式和样条在外推到训练观测范围之外时的局限性。在某些情况下，例如具有季节性效应的情况下，我们期望底层信号的周期性延续。可以使用周期性样条对这种效应进行建模，周期性样条在第一个和最后一个节点处具有相等的函数值和相等的导数。在下面的例子中，我们展示了周期性样条如何在给定周期性附加信息的情况下，在训练数据范围之内和之外提供更好的拟合。样条的周期是第一个和最后一个节点之间的距离，我们手动指定它。

周期性样条也可用于自然周期性特征（例如一年中的某一天），因为边界节点处的平滑性可以防止变换值发生跳跃（例如，从12月31日到1月1日）。对于此类自然周期性特征或更一般地已知周期的特征，建议通过手动设置节点将此信息显式传递给 SplineTransformer。

def g(x):
    """Function to be approximated by periodic spline interpolation."""
    return np.sin(x) - 0.7 * np.cos(x * 3)


y_train = g(x_train)

# Extend the test data into the future:
x_plot_ext = np.linspace(-1, 21, 200)
X_plot_ext = x_plot_ext[:, np.newaxis]

lw = 2
fig, ax = plt.subplots()
ax.set_prop_cycle(color=["black", "tomato", "teal"])
ax.plot(x_plot_ext, g(x_plot_ext), linewidth=lw, label="ground truth")
ax.scatter(x_train, y_train, label="training points")

for transformer, label in [
    (SplineTransformer(degree=3, n_knots=10), "spline"),
    (
        SplineTransformer(
            degree=3,
            knots=np.linspace(0, 2 * np.pi, 10)[:, None],
            extrapolation="periodic",
        ),
        "periodic spline",
    ),
]:
    model = make_pipeline(transformer, Ridge(alpha=1e-3))
    model.fit(X_train, y_train)
    y_plot_ext = model.predict(X_plot_ext)
    ax.plot(x_plot_ext, y_plot_ext, label=label)

ax.legend()
fig.show()

fig, ax = plt.subplots()
knots = np.linspace(0, 2 * np.pi, 4)
splt = SplineTransformer(knots=knots[:, None], degree=3, extrapolation="periodic").fit(
    X_train
)
ax.plot(x_plot_ext, splt.transform(X_plot_ext))
ax.legend(ax.lines, [f"spline {n}" for n in range(3)])
plt.show()

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