稳健与经验协方差估计#

常用的协方差最大似然估计对数据集中的异常值非常敏感。在这种情况下，最好使用稳健的协方差估计器，以保证估计对数据集中“错误”的观测值具有抵抗力。[1]，[2]

最小协方差行列式估计器#

最小协方差行列式估计器是一种稳健的、高击穿点（即它可以用来估计高度污染的数据集的协方差矩阵，最多可达\(\frac{n_\text{samples} - n_\text{features}-1}{2}\)个异常值）的协方差估计器。其思想是找到\(\frac{n_\text{samples} + n_\text{features}+1}{2}\)个观测值，其经验协方差具有最小的行列式，从而产生一个“纯净”的观测子集，从中计算位置和协方差的标准估计。经过一个校正步骤，旨在补偿估计值仅从初始数据的一部分学习的事实，我们最终得到了数据集位置和协方差的稳健估计。

最小协方差行列式估计器 (MCD) 由 P.J. Rousseeuw 在[3]中提出。

评估#

在这个例子中，我们比较了在污染的高斯分布数据集上使用各种类型的位置和协方差估计时所产生的估计误差。

完整数据集的均值和经验协方差，一旦数据集中出现异常值就会失效。
稳健的 MCD，只要\(n_\text{samples} > 5n_\text{features}\)，误差就较低。
已知为良值观测值的均值和经验协方差。这可以被认为是“完美”的 MCD 估计，因此可以通过与这种情况进行比较来验证我们的实现。

参考文献#

Influence of outliers on the location estimation, Influence of outliers on the covariance estimation

# Authors: The scikit-learn developers
# SPDX-License-Identifier: BSD-3-Clause

import matplotlib.font_manager
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

from sklearn.covariance import EmpiricalCovariance, MinCovDet

# example settings
n_samples = 80
n_features = 5
repeat = 10

range_n_outliers = np.concatenate(
    (
        np.linspace(0, n_samples / 8, 5),
        np.linspace(n_samples / 8, n_samples / 2, 5)[1:-1],
    )
).astype(int)

# definition of arrays to store results
err_loc_mcd = np.zeros((range_n_outliers.size, repeat))
err_cov_mcd = np.zeros((range_n_outliers.size, repeat))
err_loc_emp_full = np.zeros((range_n_outliers.size, repeat))
err_cov_emp_full = np.zeros((range_n_outliers.size, repeat))
err_loc_emp_pure = np.zeros((range_n_outliers.size, repeat))
err_cov_emp_pure = np.zeros((range_n_outliers.size, repeat))

# computation
for i, n_outliers in enumerate(range_n_outliers):
    for j in range(repeat):
        rng = np.random.RandomState(i * j)

        # generate data
        X = rng.randn(n_samples, n_features)
        # add some outliers
        outliers_index = rng.permutation(n_samples)[:n_outliers]
        outliers_offset = 10.0 * (
            np.random.randint(2, size=(n_outliers, n_features)) - 0.5
        )
        X[outliers_index] += outliers_offset
        inliers_mask = np.ones(n_samples).astype(bool)
        inliers_mask[outliers_index] = False

        # fit a Minimum Covariance Determinant (MCD) robust estimator to data
        mcd = MinCovDet().fit(X)
        # compare raw robust estimates with the true location and covariance
        err_loc_mcd[i, j] = np.sum(mcd.location_**2)
        err_cov_mcd[i, j] = mcd.error_norm(np.eye(n_features))

        # compare estimators learned from the full data set with true
        # parameters
        err_loc_emp_full[i, j] = np.sum(X.mean(0) ** 2)
        err_cov_emp_full[i, j] = (
            EmpiricalCovariance().fit(X).error_norm(np.eye(n_features))
        )

        # compare with an empirical covariance learned from a pure data set
        # (i.e. "perfect" mcd)
        pure_X = X[inliers_mask]
        pure_location = pure_X.mean(0)
        pure_emp_cov = EmpiricalCovariance().fit(pure_X)
        err_loc_emp_pure[i, j] = np.sum(pure_location**2)
        err_cov_emp_pure[i, j] = pure_emp_cov.error_norm(np.eye(n_features))

# Display results
font_prop = matplotlib.font_manager.FontProperties(size=11)
plt.subplot(2, 1, 1)
lw = 2
plt.errorbar(
    range_n_outliers,
    err_loc_mcd.mean(1),
    yerr=err_loc_mcd.std(1) / np.sqrt(repeat),
    label="Robust location",
    lw=lw,
    color="m",
)
plt.errorbar(
    range_n_outliers,
    err_loc_emp_full.mean(1),
    yerr=err_loc_emp_full.std(1) / np.sqrt(repeat),
    label="Full data set mean",
    lw=lw,
    color="green",
)
plt.errorbar(
    range_n_outliers,
    err_loc_emp_pure.mean(1),
    yerr=err_loc_emp_pure.std(1) / np.sqrt(repeat),
    label="Pure data set mean",
    lw=lw,
    color="black",
)
plt.title("Influence of outliers on the location estimation")
plt.ylabel(r"Error ($||\mu - \hat{\mu}||_2^2$)")
plt.legend(loc="upper left", prop=font_prop)

plt.subplot(2, 1, 2)
x_size = range_n_outliers.size
plt.errorbar(
    range_n_outliers,
    err_cov_mcd.mean(1),
    yerr=err_cov_mcd.std(1),
    label="Robust covariance (mcd)",
    color="m",
)
plt.errorbar(
    range_n_outliers[: (x_size // 5 + 1)],
    err_cov_emp_full.mean(1)[: (x_size // 5 + 1)],
    yerr=err_cov_emp_full.std(1)[: (x_size // 5 + 1)],
    label="Full data set empirical covariance",
    color="green",
)
plt.plot(
    range_n_outliers[(x_size // 5) : (x_size // 2 - 1)],
    err_cov_emp_full.mean(1)[(x_size // 5) : (x_size // 2 - 1)],
    color="green",
    ls="--",
)
plt.errorbar(
    range_n_outliers,
    err_cov_emp_pure.mean(1),
    yerr=err_cov_emp_pure.std(1),
    label="Pure data set empirical covariance",
    color="black",
)
plt.title("Influence of outliers on the covariance estimation")
plt.xlabel("Amount of contamination (%)")
plt.ylabel("RMSE")
plt.legend(loc="upper center", prop=font_prop)

plt.show()

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