SVC 的正则化参数缩放#

以下示例说明了在使用支持向量机进行分类时缩放正则化参数的影响。对于 SVC 分类，我们关注的是以下方程的风险最小化：

\[C \sum_{i=1, n} \mathcal{L} (f(x_i), y_i) + \Omega (w)\]

其中

\(C\) 用于设置正则化的程度
\(\mathcal{L}\) 是我们样本和模型参数的损失函数。
\(\Omega\) 是我们模型参数的惩罚函数

如果我们将损失函数视为每个样本的个体误差，那么数据拟合项，或每个样本误差的总和，随着我们添加更多样本而增加。然而，惩罚项不会增加。

例如，当使用交叉验证来设置C的正则化程度时，主问题和交叉验证折叠中较小问题之间的样本数量会有所不同。

由于损失函数取决于样本数量，后者会影响C 的选择值。由此产生一个问题：“我们如何最佳地调整 C 以考虑不同数量的训练样本？”

# Authors: The scikit-learn developers
# SPDX-License-Identifier: BSD-3-Clause

数据生成#

在这个例子中，我们研究了在使用 L1 或 L2 惩罚时，重新参数化正则化参数C以考虑样本数量的影响。为此，我们创建了一个具有大量特征的合成数据集，其中只有少数特征是有信息的。因此，我们期望正则化将系数缩小到零（L2 惩罚）或精确为零（L1 惩罚）。

from sklearn.datasets import make_classification

n_samples, n_features = 100, 300
X, y = make_classification(
    n_samples=n_samples, n_features=n_features, n_informative=5, random_state=1
)

L1 惩罚情况#

在 L1 的情况下，理论表明，如果正则化强度足够大，估计器的预测效果不会比知道真实分布的模型好（即使在样本大小增长到无穷大的极限情况下），因为它可能会将其他预测特征的一些权重设置为零，从而导致偏差。但是，它确实表明，可以通过调整C来找到正确的非零参数集及其符号。

我们定义一个具有 L1 惩罚的线性 SVC。

from sklearn.svm import LinearSVC

model_l1 = LinearSVC(penalty="l1", loss="squared_hinge", dual=False, tol=1e-3)

我们通过交叉验证计算不同C值的平均测试分数。

import numpy as np
import pandas as pd

from sklearn.model_selection import ShuffleSplit, validation_curve

Cs = np.logspace(-2.3, -1.3, 10)
train_sizes = np.linspace(0.3, 0.7, 3)
labels = [f"fraction: {train_size}" for train_size in train_sizes]
shuffle_params = {
    "test_size": 0.3,
    "n_splits": 150,
    "random_state": 1,
}

results = {"C": Cs}
for label, train_size in zip(labels, train_sizes):
    cv = ShuffleSplit(train_size=train_size, **shuffle_params)
    train_scores, test_scores = validation_curve(
        model_l1,
        X,
        y,
        param_name="C",
        param_range=Cs,
        cv=cv,
        n_jobs=2,
    )
    results[label] = test_scores.mean(axis=1)
results = pd.DataFrame(results)

import matplotlib.pyplot as plt

fig, axes = plt.subplots(nrows=1, ncols=2, sharey=True, figsize=(12, 6))

# plot results without scaling C
results.plot(x="C", ax=axes[0], logx=True)
axes[0].set_ylabel("CV score")
axes[0].set_title("No scaling")

for label in labels:
    best_C = results.loc[results[label].idxmax(), "C"]
    axes[0].axvline(x=best_C, linestyle="--", color="grey", alpha=0.7)

# plot results by scaling C
for train_size_idx, label in enumerate(labels):
    train_size = train_sizes[train_size_idx]
    results_scaled = results[[label]].assign(
        C_scaled=Cs * float(n_samples * np.sqrt(train_size))
    )
    results_scaled.plot(x="C_scaled", ax=axes[1], logx=True, label=label)
    best_C_scaled = results_scaled["C_scaled"].loc[results[label].idxmax()]
    axes[1].axvline(x=best_C_scaled, linestyle="--", color="grey", alpha=0.7)

axes[1].set_title("Scaling C by sqrt(1 / n_samples)")

_ = fig.suptitle("Effect of scaling C with L1 penalty")

Effect of scaling C with L1 penalty, No scaling, Scaling C by sqrt(1 / n_samples)

在C值较小（强正则化）的区域中，模型学习到的所有系数都为零，导致严重的欠拟合。事实上，该区域的准确率处于偶然水平。

使用默认比例会导致C 的最佳值相对稳定，而脱离欠拟合区域的转变取决于训练样本的数量。重新参数化导致结果更加稳定。

参见例如关于 Lasso 预测性能或Lasso 和 Dantzig 选择器的同步分析的定理 3，其中正则化参数始终假定与 1 / sqrt(n_samples) 成比例。

L2 惩罚情况#

我们可以对 L2 惩罚进行类似的实验。在这种情况下，理论表明，为了达到预测一致性，应随着样本数量的增加保持惩罚参数不变。

model_l2 = LinearSVC(penalty="l2", loss="squared_hinge", dual=True)
Cs = np.logspace(-8, 4, 11)

labels = [f"fraction: {train_size}" for train_size in train_sizes]
results = {"C": Cs}
for label, train_size in zip(labels, train_sizes):
    cv = ShuffleSplit(train_size=train_size, **shuffle_params)
    train_scores, test_scores = validation_curve(
        model_l2,
        X,
        y,
        param_name="C",
        param_range=Cs,
        cv=cv,
        n_jobs=2,
    )
    results[label] = test_scores.mean(axis=1)
results = pd.DataFrame(results)

import matplotlib.pyplot as plt

fig, axes = plt.subplots(nrows=1, ncols=2, sharey=True, figsize=(12, 6))

# plot results without scaling C
results.plot(x="C", ax=axes[0], logx=True)
axes[0].set_ylabel("CV score")
axes[0].set_title("No scaling")

for label in labels:
    best_C = results.loc[results[label].idxmax(), "C"]
    axes[0].axvline(x=best_C, linestyle="--", color="grey", alpha=0.8)

# plot results by scaling C
for train_size_idx, label in enumerate(labels):
    results_scaled = results[[label]].assign(
        C_scaled=Cs * float(n_samples * np.sqrt(train_sizes[train_size_idx]))
    )
    results_scaled.plot(x="C_scaled", ax=axes[1], logx=True, label=label)
    best_C_scaled = results_scaled["C_scaled"].loc[results[label].idxmax()]
    axes[1].axvline(x=best_C_scaled, linestyle="--", color="grey", alpha=0.8)
axes[1].set_title("Scaling C by sqrt(1 / n_samples)")

fig.suptitle("Effect of scaling C with L2 penalty")
plt.show()

Effect of scaling C with L2 penalty, No scaling, Scaling C by sqrt(1 / n_samples)

对于 L2 惩罚情况，重新参数化似乎对正则化最佳值的稳定性影响较小。脱离过拟合区域的转变发生在一个更分散的范围内，准确率似乎不会降到偶然水平。

尝试将值增加到n_splits=1_000以在 L2 情况下获得更好的结果，由于文档构建器的限制，此处未显示。

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