瑞士卷和瑞士洞的降维#

本笔记旨在将两种流行的非线性降维技术，即t-分布随机邻域嵌入(t-SNE)和局部线性嵌入(LLE)，应用于经典的瑞士卷数据集进行比较。然后，我们将探讨它们如何处理数据中添加的孔洞。

# Authors: The scikit-learn developers
# SPDX-License-Identifier: BSD-3-Clause

瑞士卷#

我们首先生成瑞士卷数据集。

import matplotlib.pyplot as plt

from sklearn import datasets, manifold

sr_points, sr_color = datasets.make_swiss_roll(n_samples=1500, random_state=0)

现在，让我们来看看我们的数据

fig = plt.figure(figsize=(8, 6))
ax = fig.add_subplot(111, projection="3d")
fig.add_axes(ax)
ax.scatter(
    sr_points[:, 0], sr_points[:, 1], sr_points[:, 2], c=sr_color, s=50, alpha=0.8
)
ax.set_title("Swiss Roll in Ambient Space")
ax.view_init(azim=-66, elev=12)
_ = ax.text2D(0.8, 0.05, s="n_samples=1500", transform=ax.transAxes)

计算LLE和t-SNE嵌入后，我们发现LLE似乎能够非常有效地展开瑞士卷。另一方面，t-SNE能够保留数据的整体结构，但是，它对原始数据的连续性表示不佳。相反，它似乎不必要地将部分点聚集在一起。

sr_lle, sr_err = manifold.locally_linear_embedding(
    sr_points, n_neighbors=12, n_components=2
)

sr_tsne = manifold.TSNE(n_components=2, perplexity=40, random_state=0).fit_transform(
    sr_points
)

fig, axs = plt.subplots(figsize=(8, 8), nrows=2)
axs[0].scatter(sr_lle[:, 0], sr_lle[:, 1], c=sr_color)
axs[0].set_title("LLE Embedding of Swiss Roll")
axs[1].scatter(sr_tsne[:, 0], sr_tsne[:, 1], c=sr_color)
_ = axs[1].set_title("t-SNE Embedding of Swiss Roll")

LLE Embedding of Swiss Roll, t-SNE Embedding of Swiss Roll

注意

LLE似乎正在拉伸来自瑞士卷中心（紫色）的点。然而，我们观察到这仅仅是数据生成方式的副产品。卷的中心附近点密度更高，这最终会影响LLE在低维空间中如何重建数据。

瑞士洞#

现在让我们看看这两种算法如何处理我们在数据中添加一个孔洞的情况。首先，我们生成瑞士洞数据集并将其绘制出来。

sh_points, sh_color = datasets.make_swiss_roll(
    n_samples=1500, hole=True, random_state=0
)

fig = plt.figure(figsize=(8, 6))
ax = fig.add_subplot(111, projection="3d")
fig.add_axes(ax)
ax.scatter(
    sh_points[:, 0], sh_points[:, 1], sh_points[:, 2], c=sh_color, s=50, alpha=0.8
)
ax.set_title("Swiss-Hole in Ambient Space")
ax.view_init(azim=-66, elev=12)
_ = ax.text2D(0.8, 0.05, s="n_samples=1500", transform=ax.transAxes)

计算LLE和t-SNE嵌入后，我们得到了与瑞士卷类似的结果。LLE非常有效地展开数据，甚至保留了孔洞。t-SNE再次似乎将部分点聚集在一起，但是，我们注意到它保留了原始数据的整体拓扑结构。

sh_lle, sh_err = manifold.locally_linear_embedding(
    sh_points, n_neighbors=12, n_components=2
)

sh_tsne = manifold.TSNE(
    n_components=2, perplexity=40, init="random", random_state=0
).fit_transform(sh_points)

fig, axs = plt.subplots(figsize=(8, 8), nrows=2)
axs[0].scatter(sh_lle[:, 0], sh_lle[:, 1], c=sh_color)
axs[0].set_title("LLE Embedding of Swiss-Hole")
axs[1].scatter(sh_tsne[:, 0], sh_tsne[:, 1], c=sh_color)
_ = axs[1].set_title("t-SNE Embedding of Swiss-Hole")

LLE Embedding of Swiss-Hole, t-SNE Embedding of Swiss-Hole

总结性说明#

我们注意到，t-SNE受益于测试更多参数组合。通过更好地调整这些参数，可能会获得更好的结果。

我们观察到，正如“手写数字流形学习”示例中所示，t-SNE在现实世界数据中的性能通常优于LLE。

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