使用核 PCA 进行图像去噪#

本示例展示了如何使用 KernelPCA 对图像进行去噪。简而言之，我们利用在 fit 过程中学习到的近似函数来重建原始图像。

我们将把结果与使用 PCA 进行的精确重建进行比较。

我们将使用 USPS 数字数据集来复现引文 [1] 第 4 节中展示的内容。

参考文献

# Authors: The scikit-learn developers
# SPDX-License-Identifier: BSD-3-Clause

通过 OpenML 加载数据集#

USPS 数字数据集可在 OpenML 中获取。我们使用 fetch_openml 获取此数据集。此外，我们对数据集进行归一化，使所有像素值都在 (0, 1) 范围内。

import numpy as np

from sklearn.datasets import fetch_openml
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.preprocessing import MinMaxScaler

X, y = fetch_openml(data_id=41082, as_frame=False, return_X_y=True)
X = MinMaxScaler().fit_transform(X)

其思想是在噪声图像上学习一个 PCA 基（带核和不带核），然后使用这些模型重建和去噪这些图像。

因此，我们将数据集分为训练集和测试集，其中训练集包含 1,000 个样本，测试集包含 100 个样本。这些图像是无噪声的，我们将用它们来评估去噪方法的效率。此外，我们创建了原始数据集的副本并添加了高斯噪声。

此应用的想法是展示我们可以通过在一些未损坏的图像上学习 PCA 基来对损坏的图像进行去噪。我们将同时使用 PCA 和基于核的 PCA 来解决此问题。

X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(
    X, y, stratify=y, random_state=0, train_size=1_000, test_size=100
)

rng = np.random.RandomState(0)
noise = rng.normal(scale=0.25, size=X_test.shape)
X_test_noisy = X_test + noise

noise = rng.normal(scale=0.25, size=X_train.shape)
X_train_noisy = X_train + noise

此外，我们将创建一个辅助函数，通过绘制测试图像来定性评估图像重建效果。

import matplotlib.pyplot as plt


def plot_digits(X, title):
    """Small helper function to plot 100 digits."""
    fig, axs = plt.subplots(nrows=10, ncols=10, figsize=(8, 8))
    for img, ax in zip(X, axs.ravel()):
        ax.imshow(img.reshape((16, 16)), cmap="Greys")
        ax.axis("off")
    fig.suptitle(title, fontsize=24)

此外，我们将使用均方误差 (MSE) 来定量评估图像重建效果。

我们首先看看无噪声图像和噪声图像之间的差异。我们将检查测试集在这方面的表现。

plot_digits(X_test, "Uncorrupted test images")
plot_digits(
    X_test_noisy, f"Noisy test images\nMSE: {np.mean((X_test - X_test_noisy) ** 2):.2f}"
)

学习 `PCA` 基#

现在，我们可以使用线性 PCA 和使用径向基函数 (RBF) 核的核 PCA 来学习我们的 PCA 基。

from sklearn.decomposition import PCA, KernelPCA

pca = PCA(n_components=32, random_state=42)
kernel_pca = KernelPCA(
    n_components=400,
    kernel="rbf",
    gamma=1e-3,
    fit_inverse_transform=True,
    alpha=5e-3,
    random_state=42,
)

pca.fit(X_train_noisy)
_ = kernel_pca.fit(X_train_noisy)

重建和去噪测试图像#

现在，我们可以变换并重建噪声测试集。由于我们使用的组件数量少于原始特征的数量，我们将获得原始集的近似值。确实，通过丢弃对 PCA 中方差解释最少的组件，我们希望去除噪声。核 PCA 中也有类似的想法；然而，我们期望更好的重建效果，因为我们使用非线性核来学习 PCA 基，并使用核岭回归来学习映射函数。

X_reconstructed_kernel_pca = kernel_pca.inverse_transform(
    kernel_pca.transform(X_test_noisy)
)
X_reconstructed_pca = pca.inverse_transform(pca.transform(X_test_noisy))

plot_digits(X_test, "Uncorrupted test images")
plot_digits(
    X_reconstructed_pca,
    f"PCA reconstruction\nMSE: {np.mean((X_test - X_reconstructed_pca) ** 2):.2f}",
)
plot_digits(
    X_reconstructed_kernel_pca,
    (
        "Kernel PCA reconstruction\n"
        f"MSE: {np.mean((X_test - X_reconstructed_kernel_pca) ** 2):.2f}"
    ),
)

PCA 的 MSE 低于核 PCA。然而，定性分析可能并不偏向 PCA 而非核 PCA。我们观察到核 PCA 能够去除背景噪声并提供更平滑的图像。

然而，需要注意的是，使用核 PCA 进行去噪的结果将取决于参数 n_components、gamma 和 alpha。

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