鲁棒协方差估计和马氏距离的相关性#

此示例显示了高斯分布数据上的马氏距离协方差估计。

对于高斯分布数据，观测值 \(x_i\) 到分布模式的距离可以使用其马氏距离来计算

\[d_{(\mu,\Sigma)}(x_i)^2 = (x_i - \mu)^T\Sigma^{-1}(x_i - \mu)\]

其中 \(\mu\) 和 \(\Sigma\) 是基础高斯分布的位置和协方差。

在实践中，\(\mu\) 和 \(\Sigma\) 被一些估计值代替。标准协方差最大似然估计 (MLE) 对数据集中异常值的存在非常敏感，因此，下游马氏距离也是如此。最好使用协方差的稳健估计器，以确保估计值不受数据集中“错误”观测值的影响，并且计算出的马氏距离准确反映观测值的真实组织。

最小协方差行列式估计器 (MCD) 是一种稳健的、高崩溃点（即，它可以用来估计高度污染数据集的协方差矩阵，最多 \(\frac{n_\text{samples}-n_\text{features}-1}{2}\) 个异常值）协方差估计器。MCD 背后的思想是找到 \(\frac{n_\text{samples}+n_\text{features}+1}{2}\) 个观测值，其经验协方差具有最小的行列式，从而产生一个“纯”观测值子集，从中可以计算位置和协方差的标准估计值。MCD 由 P.J.Rousseuw 在 [1] 中提出。

此示例说明了马氏距离如何受异常数据的影响。当使用基于标准协方差 MLE 的马氏距离时，无法将来自污染分布的观测值与来自真实高斯分布的观测值区分开来。使用基于 MCD 的马氏距离，这两个总体变得可区分。相关的应用包括异常值检测、观测值排序和聚类。

注意

另见稳健协方差估计与经验协方差估计

参考文献

生成数据#

首先，我们生成一个包含 125 个样本和 2 个特征的数据集。这两个特征都服从均值为 0 的高斯分布，但特征 1 的标准差等于 2，特征 2 的标准差等于 1。接下来，用 25 个高斯异常值样本替换 25 个样本，其中特征 1 的标准差等于 1，特征 2 的标准差等于 7。

import numpy as np

# for consistent results
np.random.seed(7)

n_samples = 125
n_outliers = 25
n_features = 2

# generate Gaussian data of shape (125, 2)
gen_cov = np.eye(n_features)
gen_cov[0, 0] = 2.0
X = np.dot(np.random.randn(n_samples, n_features), gen_cov)
# add some outliers
outliers_cov = np.eye(n_features)
outliers_cov[np.arange(1, n_features), np.arange(1, n_features)] = 7.0
X[-n_outliers:] = np.dot(np.random.randn(n_outliers, n_features), outliers_cov)

结果比较#

下面，我们将基于 MCD 和 MLE 的协方差估计器拟合到我们的数据中，并打印估计的协方差矩阵。请注意，基于 MLE 的估计器（7.5）估计的特征 2 的方差远高于稳健的 MCD 估计器（1.2）。这表明基于 MCD 的稳健估计器对异常值样本的抵抗力更强，这些异常值样本被设计为在特征 2 中具有更大的方差。

import matplotlib.pyplot as plt

from sklearn.covariance import EmpiricalCovariance, MinCovDet

# fit a MCD robust estimator to data
robust_cov = MinCovDet().fit(X)
# fit a MLE estimator to data
emp_cov = EmpiricalCovariance().fit(X)
print(
    "Estimated covariance matrix:\nMCD (Robust):\n{}\nMLE:\n{}".format(
        robust_cov.covariance_, emp_cov.covariance_
    )
)

Estimated covariance matrix:
MCD (Robust):
[[ 3.26253567e+00 -3.06695631e-03]
 [-3.06695631e-03  1.22747343e+00]]
MLE:
[[ 3.23773583 -0.24640578]
 [-0.24640578  7.51963999]]

为了更好地可视化差异，我们绘制了两种方法计算的马氏距离的等高线图。请注意，稳健的基于 MCD 的马氏距离更适合内点黑点，而基于 MLE 的距离更容易受到异常值红点的影响。

import matplotlib.lines as mlines

fig, ax = plt.subplots(figsize=(10, 5))
# Plot data set
inlier_plot = ax.scatter(X[:, 0], X[:, 1], color="black", label="inliers")
outlier_plot = ax.scatter(
    X[:, 0][-n_outliers:], X[:, 1][-n_outliers:], color="red", label="outliers"
)
ax.set_xlim(ax.get_xlim()[0], 10.0)
ax.set_title("Mahalanobis distances of a contaminated data set")

# Create meshgrid of feature 1 and feature 2 values
xx, yy = np.meshgrid(
    np.linspace(plt.xlim()[0], plt.xlim()[1], 100),
    np.linspace(plt.ylim()[0], plt.ylim()[1], 100),
)
zz = np.c_[xx.ravel(), yy.ravel()]
# Calculate the MLE based Mahalanobis distances of the meshgrid
mahal_emp_cov = emp_cov.mahalanobis(zz)
mahal_emp_cov = mahal_emp_cov.reshape(xx.shape)
emp_cov_contour = plt.contour(
    xx, yy, np.sqrt(mahal_emp_cov), cmap=plt.cm.PuBu_r, linestyles="dashed"
)
# Calculate the MCD based Mahalanobis distances
mahal_robust_cov = robust_cov.mahalanobis(zz)
mahal_robust_cov = mahal_robust_cov.reshape(xx.shape)
robust_contour = ax.contour(
    xx, yy, np.sqrt(mahal_robust_cov), cmap=plt.cm.YlOrBr_r, linestyles="dotted"
)

# Add legend
ax.legend(
    [
        mlines.Line2D([], [], color="tab:blue", linestyle="dashed"),
        mlines.Line2D([], [], color="tab:orange", linestyle="dotted"),
        inlier_plot,
        outlier_plot,
    ],
    ["MLE dist", "MCD dist", "inliers", "outliers"],
    loc="upper right",
    borderaxespad=0,
)

plt.show()

Mahalanobis distances of a contaminated data set

最后，我们强调了基于 MCD 的马氏距离区分异常值的能力。我们取马氏距离的立方根，得到近似正态分布（如 Wilson 和 Hilferty [2] 所建议的），然后用箱线图绘制内点和异常值样本的值。对于稳健的基于 MCD 的马氏距离，异常值样本的分布与内点样本的分布更加分离。

fig, (ax1, ax2) = plt.subplots(1, 2)
plt.subplots_adjust(wspace=0.6)

# Calculate cubic root of MLE Mahalanobis distances for samples
emp_mahal = emp_cov.mahalanobis(X - np.mean(X, 0)) ** (0.33)
# Plot boxplots
ax1.boxplot([emp_mahal[:-n_outliers], emp_mahal[-n_outliers:]], widths=0.25)
# Plot individual samples
ax1.plot(
    np.full(n_samples - n_outliers, 1.26),
    emp_mahal[:-n_outliers],
    "+k",
    markeredgewidth=1,
)
ax1.plot(np.full(n_outliers, 2.26), emp_mahal[-n_outliers:], "+k", markeredgewidth=1)
ax1.axes.set_xticklabels(("inliers", "outliers"), size=15)
ax1.set_ylabel(r"$\sqrt[3]{\rm{(Mahal. dist.)}}$", size=16)
ax1.set_title("Using non-robust estimates\n(Maximum Likelihood)")

# Calculate cubic root of MCD Mahalanobis distances for samples
robust_mahal = robust_cov.mahalanobis(X - robust_cov.location_) ** (0.33)
# Plot boxplots
ax2.boxplot([robust_mahal[:-n_outliers], robust_mahal[-n_outliers:]], widths=0.25)
# Plot individual samples
ax2.plot(
    np.full(n_samples - n_outliers, 1.26),
    robust_mahal[:-n_outliers],
    "+k",
    markeredgewidth=1,
)
ax2.plot(np.full(n_outliers, 2.26), robust_mahal[-n_outliers:], "+k", markeredgewidth=1)
ax2.axes.set_xticklabels(("inliers", "outliers"), size=15)
ax2.set_ylabel(r"$\sqrt[3]{\rm{(Mahal. dist.)}}$", size=16)
ax2.set_title("Using robust estimates\n(Minimum Covariance Determinant)")

plt.show()

Using non-robust estimates (Maximum Likelihood), Using robust estimates (Minimum Covariance Determinant)

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