压缩感知：使用 L1 先验（Lasso）进行断层扫描重建#
此示例展示了如何从一组沿不同角度获取的平行投影重建图像。这种数据集是在**计算机断层扫描**（CT）中获取的。
在没有任何关于样本的先验信息的情况下，重建图像所需的投影数量与图像的线性大小 l（以像素为单位）的数量级相同。为简单起见，我们在这里考虑一个稀疏图像，其中只有物体边界上的像素具有非零值。例如，此类数据可能对应于细胞材料。但是请注意，大多数图像在不同的基（例如 Haar 小波）中是稀疏的。仅获取了 l/7 个投影，因此有必要使用样本上可用的先验信息（其稀疏性）：这是一个**压缩感知**的示例。
断层扫描投影操作是一种线性变换。除了对应于线性回归的数据保真度项之外，我们还惩罚图像的 L1 范数以考虑其稀疏性。由此产生的优化问题称为 Lasso。我们使用 Lasso 类，它使用坐标下降算法。重要的是，与此处使用的投影算子相比，此实现对于稀疏矩阵的计算效率更高。
即使投影中添加了噪声，使用 L1 惩罚进行的重建也能给出零误差的结果（所有像素都成功标记为 0 或 1）。相比之下，L2 惩罚（Ridge）会产生大量像素标记错误。与 L1 惩罚相反，在重建图像上观察到重要的伪影。特别要注意的是，圆形伪影将角落中的像素分开，这些像素对投影的贡献少于中心圆盘。
# Author: Emmanuelle Gouillart <[email protected]>
# License: BSD 3 clause
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from scipy import ndimage, sparse
from sklearn.linear_model import Lasso, Ridge
def _weights(x, dx=1, orig=0):
x = np.ravel(x)
floor_x = np.floor((x - orig) / dx).astype(np.int64)
alpha = (x - orig - floor_x * dx) / dx
return np.hstack((floor_x, floor_x + 1)), np.hstack((1 - alpha, alpha))
def _generate_center_coordinates(l_x):
X, Y = np.mgrid[:l_x, :l_x].astype(np.float64)
center = l_x / 2.0
X += 0.5 - center
Y += 0.5 - center
return X, Y
def build_projection_operator(l_x, n_dir):
"""Compute the tomography design matrix.
Parameters
----------
l_x : int
linear size of image array
n_dir : int
number of angles at which projections are acquired.
Returns
-------
p : sparse matrix of shape (n_dir l_x, l_x**2)
"""
X, Y = _generate_center_coordinates(l_x)
angles = np.linspace(0, np.pi, n_dir, endpoint=False)
data_inds, weights, camera_inds = [], [], []
data_unravel_indices = np.arange(l_x**2)
data_unravel_indices = np.hstack((data_unravel_indices, data_unravel_indices))
for i, angle in enumerate(angles):
Xrot = np.cos(angle) * X - np.sin(angle) * Y
inds, w = _weights(Xrot, dx=1, orig=X.min())
mask = np.logical_and(inds >= 0, inds < l_x)
weights += list(w[mask])
camera_inds += list(inds[mask] + i * l_x)
data_inds += list(data_unravel_indices[mask])
proj_operator = sparse.coo_matrix((weights, (camera_inds, data_inds)))
return proj_operator
def generate_synthetic_data():
"""Synthetic binary data"""
rs = np.random.RandomState(0)
n_pts = 36
x, y = np.ogrid[0:l, 0:l]
mask_outer = (x - l / 2.0) ** 2 + (y - l / 2.0) ** 2 < (l / 2.0) ** 2
mask = np.zeros((l, l))
points = l * rs.rand(2, n_pts)
mask[(points[0]).astype(int), (points[1]).astype(int)] = 1
mask = ndimage.gaussian_filter(mask, sigma=l / n_pts)
res = np.logical_and(mask > mask.mean(), mask_outer)
return np.logical_xor(res, ndimage.binary_erosion(res))
# Generate synthetic images, and projections
l = 128
proj_operator = build_projection_operator(l, l // 7)
data = generate_synthetic_data()
proj = proj_operator @ data.ravel()[:, np.newaxis]
proj += 0.15 * np.random.randn(*proj.shape)
# Reconstruction with L2 (Ridge) penalization
rgr_ridge = Ridge(alpha=0.2)
rgr_ridge.fit(proj_operator, proj.ravel())
rec_l2 = rgr_ridge.coef_.reshape(l, l)
# Reconstruction with L1 (Lasso) penalization
# the best value of alpha was determined using cross validation
# with LassoCV
rgr_lasso = Lasso(alpha=0.001)
rgr_lasso.fit(proj_operator, proj.ravel())
rec_l1 = rgr_lasso.coef_.reshape(l, l)
plt.figure(figsize=(8, 3.3))
plt.subplot(131)
plt.imshow(data, cmap=plt.cm.gray, interpolation="nearest")
plt.axis("off")
plt.title("original image")
plt.subplot(132)
plt.imshow(rec_l2, cmap=plt.cm.gray, interpolation="nearest")
plt.title("L2 penalization")
plt.axis("off")
plt.subplot(133)
plt.imshow(rec_l1, cmap=plt.cm.gray, interpolation="nearest")
plt.title("L1 penalization")
plt.axis("off")
plt.subplots_adjust(hspace=0.01, wspace=0.01, top=1, bottom=0, left=0, right=1)
plt.show()
**脚本总运行时间：**（0 分 10.145 秒）
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