收缩协方差估计：LedoitWolf 与 OAS 和最大似然估计#

在进行协方差估计时，通常的方法是使用最大似然估计器，例如 EmpiricalCovariance。它是无偏的，即当给出许多观测值时，它会收敛到真实的（总体）协方差。然而，对其进行正则化以减少其方差也是有益的；这反过来又引入了一些偏差。本例说明了收缩协方差估计器中使用的简单正则化。特别是，它侧重于如何设置正则化量，即如何选择偏差-方差的权衡。

生成样本数据#

import numpy as np

n_features, n_samples = 40, 20
np.random.seed(42)
base_X_train = np.random.normal(size=(n_samples, n_features))
base_X_test = np.random.normal(size=(n_samples, n_features))

# Color samples
coloring_matrix = np.random.normal(size=(n_features, n_features))
X_train = np.dot(base_X_train, coloring_matrix)
X_test = np.dot(base_X_test, coloring_matrix)

计算测试数据的似然性#

from scipy import linalg

from sklearn.covariance import ShrunkCovariance, empirical_covariance, log_likelihood

# spanning a range of possible shrinkage coefficient values
shrinkages = np.logspace(-2, 0, 30)
negative_logliks = [
    -ShrunkCovariance(shrinkage=s).fit(X_train).score(X_test) for s in shrinkages
]

# under the ground-truth model, which we would not have access to in real
# settings
real_cov = np.dot(coloring_matrix.T, coloring_matrix)
emp_cov = empirical_covariance(X_train)
loglik_real = -log_likelihood(emp_cov, linalg.inv(real_cov))

比较设置正则化参数的不同方法#

这里我们比较了 3 种方法

根据潜在收缩参数的网格，通过交叉验证三个折叠上的似然性来设置参数。
Ledoit 和 Wolf 提出的一种封闭公式，用于计算渐近最优正则化参数（最小化 MSE 准则），从而产生 LedoitWolf 协方差估计。
Ledoit-Wolf 收缩的改进，OAS，由 Chen 等人提出。在数据是高斯分布的假设下，它的收敛性要好得多，特别是对于小样本。

from sklearn.covariance import OAS, LedoitWolf
from sklearn.model_selection import GridSearchCV

# GridSearch for an optimal shrinkage coefficient
tuned_parameters = [{"shrinkage": shrinkages}]
cv = GridSearchCV(ShrunkCovariance(), tuned_parameters)
cv.fit(X_train)

# Ledoit-Wolf optimal shrinkage coefficient estimate
lw = LedoitWolf()
loglik_lw = lw.fit(X_train).score(X_test)

# OAS coefficient estimate
oa = OAS()
loglik_oa = oa.fit(X_train).score(X_test)

绘制结果#

为了量化估计误差，我们绘制了不同收缩参数值下未见数据的似然性。我们还展示了通过交叉验证或使用 LedoitWolf 和 OAS 估计的选择。

import matplotlib.pyplot as plt

fig = plt.figure()
plt.title("Regularized covariance: likelihood and shrinkage coefficient")
plt.xlabel("Regularization parameter: shrinkage coefficient")
plt.ylabel("Error: negative log-likelihood on test data")
# range shrinkage curve
plt.loglog(shrinkages, negative_logliks, label="Negative log-likelihood")

plt.plot(plt.xlim(), 2 * [loglik_real], "--r", label="Real covariance likelihood")

# adjust view
lik_max = np.amax(negative_logliks)
lik_min = np.amin(negative_logliks)
ymin = lik_min - 6.0 * np.log((plt.ylim()[1] - plt.ylim()[0]))
ymax = lik_max + 10.0 * np.log(lik_max - lik_min)
xmin = shrinkages[0]
xmax = shrinkages[-1]
# LW likelihood
plt.vlines(
    lw.shrinkage_,
    ymin,
    -loglik_lw,
    color="magenta",
    linewidth=3,
    label="Ledoit-Wolf estimate",
)
# OAS likelihood
plt.vlines(
    oa.shrinkage_, ymin, -loglik_oa, color="purple", linewidth=3, label="OAS estimate"
)
# best CV estimator likelihood
plt.vlines(
    cv.best_estimator_.shrinkage,
    ymin,
    -cv.best_estimator_.score(X_test),
    color="cyan",
    linewidth=3,
    label="Cross-validation best estimate",
)

plt.ylim(ymin, ymax)
plt.xlim(xmin, xmax)
plt.legend()

plt.show()

Regularized covariance: likelihood and shrinkage coefficient

注意

最大似然估计对应于没有收缩，因此性能不佳。Ledoit-Wolf 估计的性能非常好，因为它接近最优值并且计算成本不高。在本例中，OAS 估计值稍微偏离了一些。有趣的是，这两种方法都优于交叉验证，而交叉验证的计算成本明显最高。

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