单一估计器与装袋：偏差-方差分解#

此示例说明并比较了单一估计器与装袋集成的预期均方误差的偏差-方差分解。

在回归中，估计器的预期均方误差可以分解为偏差、方差和噪声。在回归问题的多个数据集上平均而言，偏差项衡量估计器的预测与该问题的最佳估计器（即贝叶斯模型）的预测之间的平均差异量。方差项衡量在对同一问题的不同随机实例进行拟合时，估计器预测的可变性。在以下内容中，每个问题实例都记为“LS”，表示“学习样本”。最后，噪声衡量误差中不可减少的部分，这是由于数据的可变性造成的。

左上图显示了在玩具一维回归问题的随机数据集 LS（蓝色点）上训练的单个决策树的预测（深红色）。它还显示了在该问题的其他（和不同）随机抽取的实例 LS 上训练的其他单个决策树的预测（浅红色）。直观地说，这里的方差项对应于单个估计器的预测束（浅红色）的宽度。方差越大，x 的预测对训练集中的微小变化越敏感。偏差项对应于估计器的平均预测（青色）与最佳可能模型（深蓝色）之间的差异。在这个问题上，我们可以观察到偏差非常低（青色和蓝色曲线彼此接近），而方差很大（红色光束相当宽）。

左下图绘制了单个决策树的预期均方误差的逐点分解。它证实了偏差项（蓝色）很低，而方差很大（绿色）。它还说明了误差的噪声部分，正如预期的那样，它看起来是恒定的，大约为 0.01。

右图对应于相同的图，但使用的是决策树的装袋集成。在这两幅图中，我们可以观察到偏差项比前一种情况更大。在右上图中，平均预测（青色）与最佳可能模型之间的差异更大（例如，注意 x=2 附近的偏移量）。在右下图中，偏差曲线也略高于左下图。然而，就方差而言，预测束更窄，这表明方差更低。事实上，正如右下图所示，方差项（绿色）低于单个决策树。总的来说，偏差-方差分解因此不再相同。对于装袋来说，权衡更好：对数据集的自举副本上拟合的几棵决策树进行平均会稍微增加偏差项，但可以更大程度地降低方差，从而降低整体均方误差（比较下图中的红色曲线）。脚本输出也证实了这种直觉。装袋集成的总误差低于单个决策树的总误差，而这种差异实际上主要源于方差的减少。

有关偏差-方差分解的更多详细信息，请参见 [1] 的第 7.3 节。

参考文献#

Tree: 0.0255 (error) = 0.0003 (bias^2)  + 0.0152 (var) + 0.0098 (noise)
Bagging(Tree): 0.0196 (error) = 0.0004 (bias^2)  + 0.0092 (var) + 0.0098 (noise)

# Author: Gilles Louppe <[email protected]>
# License: BSD 3 clause

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

from sklearn.ensemble import BaggingRegressor
from sklearn.tree import DecisionTreeRegressor

# Settings
n_repeat = 50  # Number of iterations for computing expectations
n_train = 50  # Size of the training set
n_test = 1000  # Size of the test set
noise = 0.1  # Standard deviation of the noise
np.random.seed(0)

# Change this for exploring the bias-variance decomposition of other
# estimators. This should work well for estimators with high variance (e.g.,
# decision trees or KNN), but poorly for estimators with low variance (e.g.,
# linear models).
estimators = [
    ("Tree", DecisionTreeRegressor()),
    ("Bagging(Tree)", BaggingRegressor(DecisionTreeRegressor())),
]

n_estimators = len(estimators)


# Generate data
def f(x):
    x = x.ravel()

    return np.exp(-(x**2)) + 1.5 * np.exp(-((x - 2) ** 2))


def generate(n_samples, noise, n_repeat=1):
    X = np.random.rand(n_samples) * 10 - 5
    X = np.sort(X)

    if n_repeat == 1:
        y = f(X) + np.random.normal(0.0, noise, n_samples)
    else:
        y = np.zeros((n_samples, n_repeat))

        for i in range(n_repeat):
            y[:, i] = f(X) + np.random.normal(0.0, noise, n_samples)

    X = X.reshape((n_samples, 1))

    return X, y


X_train = []
y_train = []

for i in range(n_repeat):
    X, y = generate(n_samples=n_train, noise=noise)
    X_train.append(X)
    y_train.append(y)

X_test, y_test = generate(n_samples=n_test, noise=noise, n_repeat=n_repeat)

plt.figure(figsize=(10, 8))

# Loop over estimators to compare
for n, (name, estimator) in enumerate(estimators):
    # Compute predictions
    y_predict = np.zeros((n_test, n_repeat))

    for i in range(n_repeat):
        estimator.fit(X_train[i], y_train[i])
        y_predict[:, i] = estimator.predict(X_test)

    # Bias^2 + Variance + Noise decomposition of the mean squared error
    y_error = np.zeros(n_test)

    for i in range(n_repeat):
        for j in range(n_repeat):
            y_error += (y_test[:, j] - y_predict[:, i]) ** 2

    y_error /= n_repeat * n_repeat

    y_noise = np.var(y_test, axis=1)
    y_bias = (f(X_test) - np.mean(y_predict, axis=1)) ** 2
    y_var = np.var(y_predict, axis=1)

    print(
        "{0}: {1:.4f} (error) = {2:.4f} (bias^2) "
        " + {3:.4f} (var) + {4:.4f} (noise)".format(
            name, np.mean(y_error), np.mean(y_bias), np.mean(y_var), np.mean(y_noise)
        )
    )

    # Plot figures
    plt.subplot(2, n_estimators, n + 1)
    plt.plot(X_test, f(X_test), "b", label="$f(x)$")
    plt.plot(X_train[0], y_train[0], ".b", label="LS ~ $y = f(x)+noise$")

    for i in range(n_repeat):
        if i == 0:
            plt.plot(X_test, y_predict[:, i], "r", label=r"$\^y(x)$")
        else:
            plt.plot(X_test, y_predict[:, i], "r", alpha=0.05)

    plt.plot(X_test, np.mean(y_predict, axis=1), "c", label=r"$\mathbb{E}_{LS} \^y(x)$")

    plt.xlim([-5, 5])
    plt.title(name)

    if n == n_estimators - 1:
        plt.legend(loc=(1.1, 0.5))

    plt.subplot(2, n_estimators, n_estimators + n + 1)
    plt.plot(X_test, y_error, "r", label="$error(x)$")
    plt.plot(X_test, y_bias, "b", label="$bias^2(x)$"),
    plt.plot(X_test, y_var, "g", label="$variance(x)$"),
    plt.plot(X_test, y_noise, "c", label="$noise(x)$")

    plt.xlim([-5, 5])
    plt.ylim([0, 0.1])

    if n == n_estimators - 1:
        plt.legend(loc=(1.1, 0.5))

plt.subplots_adjust(right=0.75)
plt.show()

脚本总运行时间：（0 分 1.575 秒）