比较线性贝叶斯回归器#
本示例比较了两种不同的贝叶斯回归器
a 贝叶斯岭回归
在第一部分中，我们使用 普通最小二乘法 (OLS) 模型作为基线，以比较模型系数相对于真实系数的情况。此后，我们展示了此类模型的估计是通过迭代最大化观测值的边际对数似然来完成的。
在最后一节中，我们使用多项式特征扩展来绘制 ARD 和贝叶斯岭回归的预测和不确定性，以拟合 X 和 y 之间的非线性关系。
# Author: Arturo Amor <[email protected]>
模型恢复真实权重的稳健性#
生成合成数据集#
我们生成一个 X 和 y 线性链接的数据集：X 的 10 个特征将用于生成 y。其他特征对预测 y 没有用。此外，我们生成一个 n_samples == n_features 的数据集。这样的设置对 OLS 模型来说具有挑战性，并可能导致任意大的权重。对权重设置先验和惩罚可以缓解这个问题。最后，添加高斯噪声。
from sklearn.datasets import make_regression
X, y, true_weights = make_regression(
n_samples=100,
n_features=100,
n_informative=10,
noise=8,
coef=True,
random_state=42,
)
拟合回归器#
我们现在拟合两个贝叶斯模型和 OLS，以便稍后比较模型的系数。
import pandas as pd
from sklearn.linear_model import ARDRegression, BayesianRidge, LinearRegression
olr = LinearRegression().fit(X, y)
brr = BayesianRidge(compute_score=True, max_iter=30).fit(X, y)
ard = ARDRegression(compute_score=True, max_iter=30).fit(X, y)
df = pd.DataFrame(
{
"Weights of true generative process": true_weights,
"ARDRegression": ard.coef_,
"BayesianRidge": brr.coef_,
"LinearRegression": olr.coef_,
}
)
绘制真实系数和估计系数#
现在，我们将每个模型的系数与真实生成模型的权重进行比较。
import matplotlib.pyplot as plt
import seaborn as sns
from matplotlib.colors import SymLogNorm
plt.figure(figsize=(10, 6))
ax = sns.heatmap(
df.T,
norm=SymLogNorm(linthresh=10e-4, vmin=-80, vmax=80),
cbar_kws={"label": "coefficients' values"},
cmap="seismic_r",
)
plt.ylabel("linear model")
plt.xlabel("coefficients")
plt.tight_layout(rect=(0, 0, 1, 0.95))
_ = plt.title("Models' coefficients")
由于添加了噪声，因此没有一个模型能够恢复真实的权重。实际上，所有模型始终具有超过 10 个非零系数。与 OLS 估计器相比，使用贝叶斯岭回归的系数略微向零移动，这使它们更加稳定。ARD 回归提供了一个更稀疏的解决方案：一些非信息性系数被精确地设置为零，而其他系数则更接近于零。一些非信息性系数仍然存在并保留较大的值。
绘制边际对数似然#
import numpy as np
ard_scores = -np.array(ard.scores_)
brr_scores = -np.array(brr.scores_)
plt.plot(ard_scores, color="navy", label="ARD")
plt.plot(brr_scores, color="red", label="BayesianRidge")
plt.ylabel("Log-likelihood")
plt.xlabel("Iterations")
plt.xlim(1, 30)
plt.legend()
_ = plt.title("Models log-likelihood")
实际上，这两个模型都将对数似然最小化到由 max_iter 参数定义的任意截止值。
具有多项式特征扩展的贝叶斯回归#
生成合成数据集#
我们创建一个目标，它是输入特征的非线性函数。添加服从标准均匀分布的噪声。
from sklearn.pipeline import make_pipeline
from sklearn.preprocessing import PolynomialFeatures, StandardScaler
rng = np.random.RandomState(0)
n_samples = 110
# sort the data to make plotting easier later
X = np.sort(-10 * rng.rand(n_samples) + 10)
noise = rng.normal(0, 1, n_samples) * 1.35
y = np.sqrt(X) * np.sin(X) + noise
full_data = pd.DataFrame({"input_feature": X, "target": y})
X = X.reshape((-1, 1))
# extrapolation
X_plot = np.linspace(10, 10.4, 10)
y_plot = np.sqrt(X_plot) * np.sin(X_plot)
X_plot = np.concatenate((X, X_plot.reshape((-1, 1))))
y_plot = np.concatenate((y - noise, y_plot))
拟合回归器#
在这里，我们尝试使用 10 次多项式来进行潜在的过拟合，尽管贝叶斯线性模型对多项式系数的大小进行了正则化。由于 ARDRegression 和 BayesianRidge 默认情况下 fit_intercept=True，因此 PolynomialFeatures 不应引入额外的偏差特征。通过设置 return_std=True，贝叶斯回归器返回模型参数的后验分布的标准差。
ard_poly = make_pipeline(
PolynomialFeatures(degree=10, include_bias=False),
StandardScaler(),
ARDRegression(),
).fit(X, y)
brr_poly = make_pipeline(
PolynomialFeatures(degree=10, include_bias=False),
StandardScaler(),
BayesianRidge(),
).fit(X, y)
y_ard, y_ard_std = ard_poly.predict(X_plot, return_std=True)
y_brr, y_brr_std = brr_poly.predict(X_plot, return_std=True)
绘制具有分数标准误差的多项式回归#
ax = sns.scatterplot(
data=full_data, x="input_feature", y="target", color="black", alpha=0.75
)
ax.plot(X_plot, y_plot, color="black", label="Ground Truth")
ax.plot(X_plot, y_brr, color="red", label="BayesianRidge with polynomial features")
ax.plot(X_plot, y_ard, color="navy", label="ARD with polynomial features")
ax.fill_between(
X_plot.ravel(),
y_ard - y_ard_std,
y_ard + y_ard_std,
color="navy",
alpha=0.3,
)
ax.fill_between(
X_plot.ravel(),
y_brr - y_brr_std,
y_brr + y_brr_std,
color="red",
alpha=0.3,
)
ax.legend()
_ = ax.set_title("Polynomial fit of a non-linear feature")
误差线表示查询点预测高斯分布的一个标准差。请注意，当在两个模型中使用默认参数时，ARD 回归最能捕捉到真实情况，但进一步减小贝叶斯岭的 lambda_init 超参数可以减少其偏差（参见示例 使用贝叶斯岭回归进行曲线拟合）。最后，由于多项式回归的固有限制，这两个模型在 extrapolation 时都会失败。
**脚本总运行时间：**（0 分钟 0.717 秒）
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