分位数回归

本例说明了分位数回归如何预测非平凡的条件分位数。

左图显示了误差分布为正态分布，但方差非常数，即存在异方差的情况。

右图显示了非对称误差分布的示例，即帕累托分布。

# Authors: David Dale <[email protected]>
#          Christian Lorentzen <[email protected]>
#          Guillaume Lemaitre <[email protected]>
# License: BSD 3 clause

数据集生成

为了说明分位数回归的行为，我们将生成两个合成数据集。这两个数据集的真实生成随机过程将由相同的期望值组成，并与单个特征 x 呈线性关系。

import numpy as np

rng = np.random.RandomState(42)
x = np.linspace(start=0, stop=10, num=100)
X = x[:, np.newaxis]
y_true_mean = 10 + 0.5 * x

我们将通过改变目标 y 的分布来创建两个后续问题，同时保持相同的期望值

• 在第一种情况下，添加了异方差正态噪声；

• 在第二种情况下，添加了非对称帕累托噪声。

y_normal = y_true_mean + rng.normal(loc=0, scale=0.5 + 0.5 * x, size=x.shape[0])
a = 5
y_pareto = y_true_mean + 10 * (rng.pareto(a, size=x.shape[0]) - 1 / (a - 1))

让我们首先可视化数据集以及残差 y - mean(y) 的分布。

import matplotlib.pyplot as plt

_, axs = plt.subplots(nrows=2, ncols=2, figsize=(15, 11), sharex="row", sharey="row")

axs[0, 0].plot(x, y_true_mean, label="True mean")
axs[0, 0].scatter(x, y_normal, color="black", alpha=0.5, label="Observations")
axs[1, 0].hist(y_true_mean - y_normal, edgecolor="black")


axs[0, 1].plot(x, y_true_mean, label="True mean")
axs[0, 1].scatter(x, y_pareto, color="black", alpha=0.5, label="Observations")
axs[1, 1].hist(y_true_mean - y_pareto, edgecolor="black")

axs[0, 0].set_title("Dataset with heteroscedastic Normal distributed targets")
axs[0, 1].set_title("Dataset with asymmetric Pareto distributed target")
axs[1, 0].set_title(
    "Residuals distribution for heteroscedastic Normal distributed targets"
)
axs[1, 1].set_title("Residuals distribution for asymmetric Pareto distributed target")
axs[0, 0].legend()
axs[0, 1].legend()
axs[0, 0].set_ylabel("y")
axs[1, 0].set_ylabel("Counts")
axs[0, 1].set_xlabel("x")
axs[0, 0].set_xlabel("x")
axs[1, 0].set_xlabel("Residuals")
_ = axs[1, 1].set_xlabel("Residuals")

对于具有异方差正态分布的目标，我们观察到当特征 x 的值增加时，噪声的方差也在增加。

对于具有非对称帕累托分布的目标，我们观察到正残差是有界的。

这些类型的噪声目标使得通过 LinearRegression 进行估计的效率较低，即我们需要更多的数据才能获得稳定的结果，此外，大的异常值会对拟合系数产生巨大影响。（换句话说：在方差恒定的情况下，随着样本量的增加，普通最小二乘估计量会更快地收敛到*真实*系数。）

在这种非对称设置中，中位数或不同的分位数可以提供额外的见解。最重要的是，中位数估计对异常值和重尾分布的鲁棒性更强。但请注意，极端分位数是由很少的数据点估计的。95% 的分位数或多或少是由 5% 的最大值估计的，因此对异常值也有一点敏感。

在本教程的其余部分中，我们将展示如何在实践中使用 QuantileRegressor，并直观地了解拟合模型的属性。最后，我们将比较 QuantileRegressor 和 LinearRegression。

拟合 QuantileRegressor

在本节中，我们希望估计条件中位数以及分别固定在 5% 和 95% 的低分位数和高分位数。因此，我们将得到三个线性模型，每个分位数一个。

我们将使用 5% 和 95% 的分位数来查找训练样本中超出中心 90% 区间的异常值。

from sklearn.utils.fixes import parse_version, sp_version

# This is line is to avoid incompatibility if older SciPy version.
# You should use `solver="highs"` with recent version of SciPy.
solver = "highs" if sp_version >= parse_version("1.6.0") else "interior-point"

from sklearn.linear_model import QuantileRegressor

quantiles = [0.05, 0.5, 0.95]
predictions = {}
out_bounds_predictions = np.zeros_like(y_true_mean, dtype=np.bool_)
for quantile in quantiles:
    qr = QuantileRegressor(quantile=quantile, alpha=0, solver=solver)
    y_pred = qr.fit(X, y_normal).predict(X)
    predictions[quantile] = y_pred

    if quantile == min(quantiles):
        out_bounds_predictions = np.logical_or(
            out_bounds_predictions, y_pred >= y_normal
        )
    elif quantile == max(quantiles):
        out_bounds_predictions = np.logical_or(
            out_bounds_predictions, y_pred <= y_normal
        )

现在，我们可以绘制三个线性模型，并将中心 90% 区间内的样本与该区间外的样本区分开来。

plt.plot(X, y_true_mean, color="black", linestyle="dashed", label="True mean")

for quantile, y_pred in predictions.items():
    plt.plot(X, y_pred, label=f"Quantile: {quantile}")

plt.scatter(
    x[out_bounds_predictions],
    y_normal[out_bounds_predictions],
    color="black",
    marker="+",
    alpha=0.5,
    label="Outside interval",
)
plt.scatter(
    x[~out_bounds_predictions],
    y_normal[~out_bounds_predictions],
    color="black",
    alpha=0.5,
    label="Inside interval",
)

plt.legend()
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("y")
_ = plt.title("Quantiles of heteroscedastic Normal distributed target")

由于噪声仍然服从正态分布，特别是对称分布，因此真实的条件均值和真实的条件中位数重合。事实上，我们看到估计的中位数几乎达到了真实的均值。我们观察到噪声方差增加对 5% 和 95% 分位数的影响：这些分位数的斜率非常不同，并且它们之间的间隔随着 x 的增加而变宽。

为了更直观地理解 5% 和 95% 分位数估计量的含义，可以计算预测分位数（在上图中用十字表示）上方和下方的样本数量，考虑到我们总共有 100 个样本。

我们可以使用非对称帕累托分布目标重复相同的实验。

quantiles = [0.05, 0.5, 0.95]
predictions = {}
out_bounds_predictions = np.zeros_like(y_true_mean, dtype=np.bool_)
for quantile in quantiles:
    qr = QuantileRegressor(quantile=quantile, alpha=0, solver=solver)
    y_pred = qr.fit(X, y_pareto).predict(X)
    predictions[quantile] = y_pred

    if quantile == min(quantiles):
        out_bounds_predictions = np.logical_or(
            out_bounds_predictions, y_pred >= y_pareto
        )
    elif quantile == max(quantiles):
        out_bounds_predictions = np.logical_or(
            out_bounds_predictions, y_pred <= y_pareto
        )

plt.plot(X, y_true_mean, color="black", linestyle="dashed", label="True mean")

for quantile, y_pred in predictions.items():
    plt.plot(X, y_pred, label=f"Quantile: {quantile}")

plt.scatter(
    x[out_bounds_predictions],
    y_pareto[out_bounds_predictions],
    color="black",
    marker="+",
    alpha=0.5,
    label="Outside interval",
)
plt.scatter(
    x[~out_bounds_predictions],
    y_pareto[~out_bounds_predictions],
    color="black",
    alpha=0.5,
    label="Inside interval",
)

plt.legend()
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("y")
_ = plt.title("Quantiles of asymmetric Pareto distributed target")

由于噪声分布的不对称性，我们观察到真实的均值和估计的条件中位数是不同的。我们还观察到，每个分位数模型都有不同的参数，以更好地拟合所需的分位数。请注意，理想情况下，所有分位数在这种情况下应该是平行的，如果数据点更多或极端分位数更少（例如 10% 和 90%），这一点会更加明显。

比较 QuantileRegressor 和 LinearRegression

在本节中，我们将详细讨论 QuantileRegressor 和 LinearRegression 最小化的误差之间的差异。

事实上，LinearRegression 是一种最小二乘法，它最小化训练目标和预测目标之间的均方误差 (MSE)。相比之下，quantile=0.5 的 QuantileRegressor 最小化的是平均绝对误差 (MAE)。

让我们首先根据均方误差和平均绝对误差来计算此类模型的训练误差。我们将使用非对称帕累托分布目标，使其更有趣，因为均值和中位数不相等。

from sklearn.linear_model import LinearRegression
from sklearn.metrics import mean_absolute_error, mean_squared_error

linear_regression = LinearRegression()
quantile_regression = QuantileRegressor(quantile=0.5, alpha=0, solver=solver)

y_pred_lr = linear_regression.fit(X, y_pareto).predict(X)
y_pred_qr = quantile_regression.fit(X, y_pareto).predict(X)

print(
    f"""Training error (in-sample performance)
    {linear_regression.__class__.__name__}:
    MAE = {mean_absolute_error(y_pareto, y_pred_lr):.3f}
    MSE = {mean_squared_error(y_pareto, y_pred_lr):.3f}
    {quantile_regression.__class__.__name__}:
    MAE = {mean_absolute_error(y_pareto, y_pred_qr):.3f}
    MSE = {mean_squared_error(y_pareto, y_pred_qr):.3f}
    """
)

Training error (in-sample performance)
    LinearRegression:
    MAE = 1.805
    MSE = 6.486
    QuantileRegressor:
    MAE = 1.670
    MSE = 7.025

在训练集上，我们看到 QuantileRegressor 的 MAE 低于 LinearRegression。与此相反，LinearRegression 的 MSE 低于 QuantileRegressor。这些结果证实了 MAE 是 QuantileRegressor 最小化的损失，而 MSE 是 LinearRegression 最小化的损失。

我们可以通过查看交叉验证获得的测试误差来进行类似的评估。

from sklearn.model_selection import cross_validate

cv_results_lr = cross_validate(
    linear_regression,
    X,
    y_pareto,
    cv=3,
    scoring=["neg_mean_absolute_error", "neg_mean_squared_error"],
)
cv_results_qr = cross_validate(
    quantile_regression,
    X,
    y_pareto,
    cv=3,
    scoring=["neg_mean_absolute_error", "neg_mean_squared_error"],
)
print(
    f"""Test error (cross-validated performance)
    {linear_regression.__class__.__name__}:
    MAE = {-cv_results_lr["test_neg_mean_absolute_error"].mean():.3f}
    MSE = {-cv_results_lr["test_neg_mean_squared_error"].mean():.3f}
    {quantile_regression.__class__.__name__}:
    MAE = {-cv_results_qr["test_neg_mean_absolute_error"].mean():.3f}
    MSE = {-cv_results_qr["test_neg_mean_squared_error"].mean():.3f}
    """
)

Test error (cross-validated performance)
    LinearRegression:
    MAE = 1.732
    MSE = 6.690
    QuantileRegressor:
    MAE = 1.679
    MSE = 7.129

我们在样本外评估中得出了类似的结论。

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