使用随机投影进行嵌入的 Johnson-Lindenstrauss 界限#

该 Johnson-Lindenstrauss 引理指出，任何高维数据集都可以随机投影到低维欧几里得空间，同时控制成对距离的失真。

import sys
from time import time

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

from sklearn.datasets import fetch_20newsgroups_vectorized, load_digits
from sklearn.metrics.pairwise import euclidean_distances
from sklearn.random_projection import (
    SparseRandomProjection,
    johnson_lindenstrauss_min_dim,
)

理论界限#

随机投影 p 引入的失真由以下事实断言：p 定义了一个 eps-嵌入，具有良好的概率，如以下定义所示：

\[(1 - eps) \|u - v\|^2 < \|p(u) - p(v)\|^2 < (1 + eps) \|u - v\|^2\]

其中 u 和 v 是从形状为 (n_samples, n_features) 的数据集中取出的任意行，p 是由形状为 (n_components, n_features) 的随机高斯 N(0, 1) 矩阵（或稀疏 Achlioptas 矩阵）进行的投影。

保证 eps-嵌入的最小组件数由以下公式给出：

\[n\_components \geq 4 log(n\_samples) / (eps^2 / 2 - eps^3 / 3)\]

第一个图显示，随着样本数 n_samples 的增加，为了保证 eps-嵌入，最小维数 n_components 以对数方式增加。

# range of admissible distortions
eps_range = np.linspace(0.1, 0.99, 5)
colors = plt.cm.Blues(np.linspace(0.3, 1.0, len(eps_range)))

# range of number of samples (observation) to embed
n_samples_range = np.logspace(1, 9, 9)

plt.figure()
for eps, color in zip(eps_range, colors):
    min_n_components = johnson_lindenstrauss_min_dim(n_samples_range, eps=eps)
    plt.loglog(n_samples_range, min_n_components, color=color)

plt.legend([f"eps = {eps:0.1f}" for eps in eps_range], loc="lower right")
plt.xlabel("Number of observations to eps-embed")
plt.ylabel("Minimum number of dimensions")
plt.title("Johnson-Lindenstrauss bounds:\nn_samples vs n_components")
plt.show()

Johnson-Lindenstrauss bounds: n_samples vs n_components

第二个图显示，可接受的失真 eps 的增加允许显着减少给定样本数 n_samples 的最小维数 n_components。

# range of admissible distortions
eps_range = np.linspace(0.01, 0.99, 100)

# range of number of samples (observation) to embed
n_samples_range = np.logspace(2, 6, 5)
colors = plt.cm.Blues(np.linspace(0.3, 1.0, len(n_samples_range)))

plt.figure()
for n_samples, color in zip(n_samples_range, colors):
    min_n_components = johnson_lindenstrauss_min_dim(n_samples, eps=eps_range)
    plt.semilogy(eps_range, min_n_components, color=color)

plt.legend([f"n_samples = {n}" for n in n_samples_range], loc="upper right")
plt.xlabel("Distortion eps")
plt.ylabel("Minimum number of dimensions")
plt.title("Johnson-Lindenstrauss bounds:\nn_components vs eps")
plt.show()

Johnson-Lindenstrauss bounds: n_components vs eps

经验验证#

我们在 20 个新闻组文本文档（TF-IDF 词频）数据集或数字数据集上验证上述界限。

对于 20 个新闻组数据集，大约 300 个文档（总共 100k 个特征）使用稀疏随机矩阵投影到更小的欧几里得空间，目标维数 n_components 的值不同。
对于数字数据集，大约 300 个手写数字图片的 8x8 灰度像素数据被随机投影到具有不同较大维数 n_components 的空间。

默认数据集为 20 个新闻组数据集。要在数字数据集上运行示例，请将 --use-digits-dataset 命令行参数传递给此脚本。

if "--use-digits-dataset" in sys.argv:
    data = load_digits().data[:300]
else:
    data = fetch_20newsgroups_vectorized().data[:300]

对于每个 n_components 的值，我们绘制

样本对的 2D 分布，其成对距离分别作为原始空间和投影空间中的 x 轴和 y 轴。
这些距离比率（投影 / 原始）的 1D 直方图。

n_samples, n_features = data.shape
print(
    f"Embedding {n_samples} samples with dim {n_features} using various "
    "random projections"
)

n_components_range = np.array([300, 1_000, 10_000])
dists = euclidean_distances(data, squared=True).ravel()

# select only non-identical samples pairs
nonzero = dists != 0
dists = dists[nonzero]

for n_components in n_components_range:
    t0 = time()
    rp = SparseRandomProjection(n_components=n_components)
    projected_data = rp.fit_transform(data)
    print(
        f"Projected {n_samples} samples from {n_features} to {n_components} in "
        f"{time() - t0:0.3f}s"
    )
    if hasattr(rp, "components_"):
        n_bytes = rp.components_.data.nbytes
        n_bytes += rp.components_.indices.nbytes
        print(f"Random matrix with size: {n_bytes / 1e6:0.3f} MB")

    projected_dists = euclidean_distances(projected_data, squared=True).ravel()[nonzero]

    plt.figure()
    min_dist = min(projected_dists.min(), dists.min())
    max_dist = max(projected_dists.max(), dists.max())
    plt.hexbin(
        dists,
        projected_dists,
        gridsize=100,
        cmap=plt.cm.PuBu,
        extent=[min_dist, max_dist, min_dist, max_dist],
    )
    plt.xlabel("Pairwise squared distances in original space")
    plt.ylabel("Pairwise squared distances in projected space")
    plt.title("Pairwise distances distribution for n_components=%d" % n_components)
    cb = plt.colorbar()
    cb.set_label("Sample pairs counts")

    rates = projected_dists / dists
    print(f"Mean distances rate: {np.mean(rates):.2f} ({np.std(rates):.2f})")

    plt.figure()
    plt.hist(rates, bins=50, range=(0.0, 2.0), edgecolor="k", density=True)
    plt.xlabel("Squared distances rate: projected / original")
    plt.ylabel("Distribution of samples pairs")
    plt.title("Histogram of pairwise distance rates for n_components=%d" % n_components)

    # TODO: compute the expected value of eps and add them to the previous plot
    # as vertical lines / region

plt.show()

Embedding 300 samples with dim 130107 using various random projections
Projected 300 samples from 130107 to 300 in 0.282s
Random matrix with size: 1.293 MB
Mean distances rate: 1.01 (0.17)
Projected 300 samples from 130107 to 1000 in 0.908s
Random matrix with size: 4.323 MB
Mean distances rate: 1.00 (0.09)
Projected 300 samples from 130107 to 10000 in 8.592s
Random matrix with size: 43.268 MB
Mean distances rate: 1.01 (0.03)

我们可以看到，对于 n_components 的低值，分布很宽，有许多扭曲的配对和倾斜的分布（由于左侧的比率硬性限制为零，因为距离始终为正），而对于 n_components 的较高值，扭曲得到控制，并且距离通过随机投影得到很好地保留。

备注#

根据 JL 引理，在没有太多失真情况下投影 300 个样本将至少需要数千个维度，无论原始数据集的特征数量如何。

因此，在数字数据集上使用随机投影，该数据集在输入空间中只有 64 个特征，没有意义：在这种情况下，它不允许降维。

另一方面，在二十个新闻组中，维度可以从 56,436 降至 10,000，同时合理地保留成对距离。

脚本的总运行时间：（0 分钟 12.573 秒）