鲁棒与经验协方差估计#

通常的协方差最大似然估计对数据集中存在的异常值非常敏感。在这种情况下，最好使用鲁棒的协方差估计器，以确保估计值不受数据集中“错误”观测值的影响。 [1], [2]

最小协方差行列式估计器#

最小协方差行列式估计器是一种鲁棒的、高崩溃点（即它可以用来估计高度污染的数据集的协方差矩阵，最多可以处理 \(\frac{n_\text{samples} - n_\text{features}-1}{2}\) 个异常值）的协方差估计器。其思想是找到 \(\frac{n_\text{samples} + n_\text{features}+1}{2}\) 个观测值，它们的经验协方差具有最小的行列式，从而产生一个“纯”的观测值子集，从中可以计算位置和协方差的标准估计值。在经过一个旨在补偿从初始数据的一部分中学习估计值这一事实的校正步骤后，我们最终得到了数据集位置和协方差的鲁棒估计值。

最小协方差行列式估计器 (MCD) 由 P.J.Rousseuw 在 [3] 中提出。

评估#

在本例中，我们比较了在受污染的高斯分布数据集上使用各种类型的位置和协方差估计时产生的估计误差

完整数据集的均值和经验协方差，一旦数据集中存在异常值，它们就会失效
鲁棒的 MCD，只要 \(n_\text{samples} > 5n_\text{features}\)，它就会有一个较低的误差
已知良好的观测值的均值和经验协方差。这可以被认为是一个“完美”的 MCD 估计，因此可以通过与这种情况进行比较来信任我们的实现。

参考文献#

Influence of outliers on the location estimation, Influence of outliers on the covariance estimation

import matplotlib.font_manager
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

from sklearn.covariance import EmpiricalCovariance, MinCovDet

# example settings
n_samples = 80
n_features = 5
repeat = 10

range_n_outliers = np.concatenate(
    (
        np.linspace(0, n_samples / 8, 5),
        np.linspace(n_samples / 8, n_samples / 2, 5)[1:-1],
    )
).astype(int)

# definition of arrays to store results
err_loc_mcd = np.zeros((range_n_outliers.size, repeat))
err_cov_mcd = np.zeros((range_n_outliers.size, repeat))
err_loc_emp_full = np.zeros((range_n_outliers.size, repeat))
err_cov_emp_full = np.zeros((range_n_outliers.size, repeat))
err_loc_emp_pure = np.zeros((range_n_outliers.size, repeat))
err_cov_emp_pure = np.zeros((range_n_outliers.size, repeat))

# computation
for i, n_outliers in enumerate(range_n_outliers):
    for j in range(repeat):
        rng = np.random.RandomState(i * j)

        # generate data
        X = rng.randn(n_samples, n_features)
        # add some outliers
        outliers_index = rng.permutation(n_samples)[:n_outliers]
        outliers_offset = 10.0 * (
            np.random.randint(2, size=(n_outliers, n_features)) - 0.5
        )
        X[outliers_index] += outliers_offset
        inliers_mask = np.ones(n_samples).astype(bool)
        inliers_mask[outliers_index] = False

        # fit a Minimum Covariance Determinant (MCD) robust estimator to data
        mcd = MinCovDet().fit(X)
        # compare raw robust estimates with the true location and covariance
        err_loc_mcd[i, j] = np.sum(mcd.location_**2)
        err_cov_mcd[i, j] = mcd.error_norm(np.eye(n_features))

        # compare estimators learned from the full data set with true
        # parameters
        err_loc_emp_full[i, j] = np.sum(X.mean(0) ** 2)
        err_cov_emp_full[i, j] = (
            EmpiricalCovariance().fit(X).error_norm(np.eye(n_features))
        )

        # compare with an empirical covariance learned from a pure data set
        # (i.e. "perfect" mcd)
        pure_X = X[inliers_mask]
        pure_location = pure_X.mean(0)
        pure_emp_cov = EmpiricalCovariance().fit(pure_X)
        err_loc_emp_pure[i, j] = np.sum(pure_location**2)
        err_cov_emp_pure[i, j] = pure_emp_cov.error_norm(np.eye(n_features))

# Display results
font_prop = matplotlib.font_manager.FontProperties(size=11)
plt.subplot(2, 1, 1)
lw = 2
plt.errorbar(
    range_n_outliers,
    err_loc_mcd.mean(1),
    yerr=err_loc_mcd.std(1) / np.sqrt(repeat),
    label="Robust location",
    lw=lw,
    color="m",
)
plt.errorbar(
    range_n_outliers,
    err_loc_emp_full.mean(1),
    yerr=err_loc_emp_full.std(1) / np.sqrt(repeat),
    label="Full data set mean",
    lw=lw,
    color="green",
)
plt.errorbar(
    range_n_outliers,
    err_loc_emp_pure.mean(1),
    yerr=err_loc_emp_pure.std(1) / np.sqrt(repeat),
    label="Pure data set mean",
    lw=lw,
    color="black",
)
plt.title("Influence of outliers on the location estimation")
plt.ylabel(r"Error ($||\mu - \hat{\mu}||_2^2$)")
plt.legend(loc="upper left", prop=font_prop)

plt.subplot(2, 1, 2)
x_size = range_n_outliers.size
plt.errorbar(
    range_n_outliers,
    err_cov_mcd.mean(1),
    yerr=err_cov_mcd.std(1),
    label="Robust covariance (mcd)",
    color="m",
)
plt.errorbar(
    range_n_outliers[: (x_size // 5 + 1)],
    err_cov_emp_full.mean(1)[: (x_size // 5 + 1)],
    yerr=err_cov_emp_full.std(1)[: (x_size // 5 + 1)],
    label="Full data set empirical covariance",
    color="green",
)
plt.plot(
    range_n_outliers[(x_size // 5) : (x_size // 2 - 1)],
    err_cov_emp_full.mean(1)[(x_size // 5) : (x_size // 2 - 1)],
    color="green",
    ls="--",
)
plt.errorbar(
    range_n_outliers,
    err_cov_emp_pure.mean(1),
    yerr=err_cov_emp_pure.std(1),
    label="Pure data set empirical covariance",
    color="black",
)
plt.title("Influence of outliers on the covariance estimation")
plt.xlabel("Amount of contamination (%)")
plt.ylabel("RMSE")
plt.legend(loc="upper center", prop=font_prop)

plt.show()

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