稀疏逆协方差估计#

使用 GraphicalLasso 估计器从少量样本中学习协方差和稀疏精度。

为了估计概率模型（例如高斯模型），估计精度矩阵（即逆协方差矩阵）与估计协方差矩阵一样重要。实际上，高斯模型由精度矩阵参数化。

为了处于有利的恢复条件下，我们从具有稀疏逆协方差矩阵的模型中采样数据。此外，我们确保数据不太相关（限制精度矩阵的最大系数），并且精度矩阵中没有无法恢复的小系数。此外，在观察次数较少的情况下，恢复相关矩阵比恢复协方差更容易，因此我们对时间序列进行缩放。

在这里，样本数量略大于维数，因此经验协方差仍然可逆。然而，由于观察结果高度相关，经验协方差矩阵病态，因此其逆矩阵——经验精度矩阵——与真实值相差甚远。

如果我们使用 L2 收缩（如 Ledoit-Wolf 估计器），由于样本数量较小，我们需要大量收缩。结果，Ledoit-Wolf 精度相当接近真实精度，这与对角矩阵相差不大，但丢失了非对角结构。

L1 正则化估计器可以恢复部分非对角结构。它学习稀疏精度。它无法恢复精确的稀疏模式：它检测到的非零系数过多。但是，L1 估计的最高非零系数对应于真实值中的非零系数。最后，L1 精度估计的系数向零偏差：由于惩罚，它们都小于相应的真实值，如图所示。

请注意，精度矩阵的颜色范围经过调整以提高图的可读性。未显示经验精度的完整值范围。

GraphicalLasso 的 alpha 参数设置模型的稀疏性，由 GraphicalLassoCV 中的内部交叉验证设置。如图 2 所示，计算交叉验证分数的网格在最大值附近迭代细化。

# Authors: The scikit-learn developers
# SPDX-License-Identifier: BSD-3-Clause

生成数据#

import numpy as np
from scipy import linalg

from sklearn.datasets import make_sparse_spd_matrix

n_samples = 60
n_features = 20

prng = np.random.RandomState(1)
prec = make_sparse_spd_matrix(
    n_features, alpha=0.98, smallest_coef=0.4, largest_coef=0.7, random_state=prng
)
cov = linalg.inv(prec)
d = np.sqrt(np.diag(cov))
cov /= d
cov /= d[:, np.newaxis]
prec *= d
prec *= d[:, np.newaxis]
X = prng.multivariate_normal(np.zeros(n_features), cov, size=n_samples)
X -= X.mean(axis=0)
X /= X.std(axis=0)

估计协方差#

from sklearn.covariance import GraphicalLassoCV, ledoit_wolf

emp_cov = np.dot(X.T, X) / n_samples

model = GraphicalLassoCV()
model.fit(X)
cov_ = model.covariance_
prec_ = model.precision_

lw_cov_, _ = ledoit_wolf(X)
lw_prec_ = linalg.inv(lw_cov_)

绘制结果#

import matplotlib.pyplot as plt

plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.subplots_adjust(left=0.02, right=0.98)

# plot the covariances
covs = [
    ("Empirical", emp_cov),
    ("Ledoit-Wolf", lw_cov_),
    ("GraphicalLassoCV", cov_),
    ("True", cov),
]
vmax = cov_.max()
for i, (name, this_cov) in enumerate(covs):
    plt.subplot(2, 4, i + 1)
    plt.imshow(
        this_cov, interpolation="nearest", vmin=-vmax, vmax=vmax, cmap=plt.cm.RdBu_r
    )
    plt.xticks(())
    plt.yticks(())
    plt.title("%s covariance" % name)


# plot the precisions
precs = [
    ("Empirical", linalg.inv(emp_cov)),
    ("Ledoit-Wolf", lw_prec_),
    ("GraphicalLasso", prec_),
    ("True", prec),
]
vmax = 0.9 * prec_.max()
for i, (name, this_prec) in enumerate(precs):
    ax = plt.subplot(2, 4, i + 5)
    plt.imshow(
        np.ma.masked_equal(this_prec, 0),
        interpolation="nearest",
        vmin=-vmax,
        vmax=vmax,
        cmap=plt.cm.RdBu_r,
    )
    plt.xticks(())
    plt.yticks(())
    plt.title("%s precision" % name)
    if hasattr(ax, "set_facecolor"):
        ax.set_facecolor(".7")
    else:
        ax.set_axis_bgcolor(".7")

Empirical covariance, Ledoit-Wolf covariance, GraphicalLassoCV covariance, True covariance, Empirical precision, Ledoit-Wolf precision, GraphicalLasso precision, True precision

# plot the model selection metric
plt.figure(figsize=(4, 3))
plt.axes([0.2, 0.15, 0.75, 0.7])
plt.plot(model.cv_results_["alphas"], model.cv_results_["mean_test_score"], "o-")
plt.axvline(model.alpha_, color=".5")
plt.title("Model selection")
plt.ylabel("Cross-validation score")
plt.xlabel("alpha")

plt.show()

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