欠拟合与过拟合#

此示例演示了欠拟合和过拟合的问题，以及如何使用具有多项式特征的线性回归来逼近非线性函数。该图显示了我们要逼近的函数，它是余弦函数的一部分。此外，还显示了来自真实函数的样本以及不同模型的逼近。这些模型具有不同次数的多项式特征。我们可以看到线性函数（次数为 1 的多项式）不足以拟合训练样本。这称为 **欠拟合**。次数为 4 的多项式几乎完美地逼近了真实函数。但是，对于更高的次数，模型将 **过拟合** 训练数据，即它学习了训练数据的噪声。我们使用交叉验证来定量评估 **过拟合** / **欠拟合**。我们在验证集上计算均方误差 (MSE)，值越高，模型从训练数据中正确泛化的可能性就越小。

Degree 1 MSE = 4.08e-01(+/- 4.25e-01), Degree 4 MSE = 4.32e-02(+/- 7.08e-02), Degree 15 MSE = 1.82e+08(+/- 5.46e+08)

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

from sklearn.linear_model import LinearRegression
from sklearn.model_selection import cross_val_score
from sklearn.pipeline import Pipeline
from sklearn.preprocessing import PolynomialFeatures


def true_fun(X):
    return np.cos(1.5 * np.pi * X)


np.random.seed(0)

n_samples = 30
degrees = [1, 4, 15]

X = np.sort(np.random.rand(n_samples))
y = true_fun(X) + np.random.randn(n_samples) * 0.1

plt.figure(figsize=(14, 5))
for i in range(len(degrees)):
    ax = plt.subplot(1, len(degrees), i + 1)
    plt.setp(ax, xticks=(), yticks=())

    polynomial_features = PolynomialFeatures(degree=degrees[i], include_bias=False)
    linear_regression = LinearRegression()
    pipeline = Pipeline(
        [
            ("polynomial_features", polynomial_features),
            ("linear_regression", linear_regression),
        ]
    )
    pipeline.fit(X[:, np.newaxis], y)

    # Evaluate the models using crossvalidation
    scores = cross_val_score(
        pipeline, X[:, np.newaxis], y, scoring="neg_mean_squared_error", cv=10
    )

    X_test = np.linspace(0, 1, 100)
    plt.plot(X_test, pipeline.predict(X_test[:, np.newaxis]), label="Model")
    plt.plot(X_test, true_fun(X_test), label="True function")
    plt.scatter(X, y, edgecolor="b", s=20, label="Samples")
    plt.xlabel("x")
    plt.ylabel("y")
    plt.xlim((0, 1))
    plt.ylim((-2, 2))
    plt.legend(loc="best")
    plt.title(
        "Degree {}\nMSE = {:.2e}(+/- {:.2e})".format(
            degrees[i], -scores.mean(), scores.std()
        )
    )
plt.show()

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